Question

8．有一数列的首项既不是0，也不是1，而是由下列规则决定：位于首项后的每一项都等于1减去前一项的倒数，以此类推．
（1）写出首项是3的数列的前6项；
（2）写出首项是x的数列的前6项；
（3）求出首项是x的数列的前2015项的乘积．

Answer 1

分析 （1）按照运算规则，逐个找出数列的前六项；
（2）按照运算规则，逐个找出数列的前六项；
（3）结合（1）（2）发现该规则下的数列以3为周期，按照a₁、a₂、a₃循环的，再结合2015÷3=671…2，即可得出结论．

解答 解：数列中第n项用a_n来代替．
（1）按照规则：a₁=3，a₂=1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，a₃=1-$\frac{1}{{a}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，a₄=1-$\frac{1}{{a}_{3}}$=3，a₅=1-$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{2}{3}$，a₆=1-$\frac{1}{{a}_{5}}$=-$\frac{1}{2}$．
故首项是3的数列的前6项为：3，$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{2}$，3，$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{2}$．
（2）按照规则：a₁=x，a₂=1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{x-1}{x}$，a₃=1-$\frac{1}{{a}_{2}}$=-$\frac{1}{x-1}$，a₄=1-$\frac{1}{{a}_{3}}$=x，a₅=1-$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{x-1}{x}$，a₆=1-$\frac{1}{{a}_{5}}$=-$\frac{1}{x-1}$．
故首项是x的数列的前6项为：x，$\frac{x-1}{x}$，-$\frac{1}{x-1}$，x，$\frac{x-1}{x}$，-$\frac{1}{x-1}$．
（3）结合（1）（2）发现数列是以3为周期，按照前三个数一直循环的．
∵2015÷3=671…2，而a₁×a₂×a₃=x•$\frac{x-1}{x}$•$\frac{-1}{x-1}$=-1，
∴a₁×a₂×a₃×…×a₂₀₁₅=（-1）⁶⁷¹×a₁×a₂=1-x．
故首项是x的数列的前2015项的乘积为1-x．

点评 本题考查了数字的变化，解题的关键是：（1）（2）按照运算规则，逐项列出前六项；（3）发现该规则下的数列以3为周期，按照a₁、a₂、a₃循环的．本题属于中档题型，（1）（2）难度不大，（3）稍微有点难度，需要在前面结果的基础上找到循环的规律．