Question

13．如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N．求证：MQ=QN．

Answer 1

分析 根据正方形性质AB=AE，AC=AG，∠EAB=∠GAC，求出∠GAB=∠EAC，证出△BAG≌△EAC，再根据三角形中位线求出即可．

解答 证明：连接BG和CE交于O，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴AB=AE，AC=AG，∠EAB=∠GAC，
∴∠EAB+∠EAG=∠GAC+∠EAG，
∴∠GAB=∠EAC，
在△BAG和△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAG=∠EAC}\\{AG=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△EAC（SAS），
∴BG=CE．
∵BE、BC、CG的中点M、Q、N，
∴MQ=$\frac{1}{2}$CE，QN=$\frac{1}{2}$BG，
∵BG=CE，
∴QN=MQ．

点评 本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据正方形性质AB=AE，AC=AG，∠EAB=∠GAC．