Question

14．已a₁=1-$\frac{1}{{2}^{2}}$，a₂=1-$\frac{1}{{3}^{2}}$，a₃=1-$\frac{1}{{4}^{2}}$，…a_n=1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，S_n=a₁•a₂…a_n，则S₂₀₁₅=$\frac{2017}{4032}$．

Answer 1

分析 首先代入，把每一项利用平方差公式因式分解，进一步计算约分化简得出答案即可．

解答 解：S₂₀₁₅=（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{201{6}^{2}}$）
=（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）（1+$\frac{1}{4}$）…（1-$\frac{1}{2016}$）（1+$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{2015}{2016}$×$\frac{2017}{2016}$
=$\frac{2017}{4032}$．
故答案为：$\frac{2017}{4032}$．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用运算规律解决问题．