Question

【题目】如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C的切线垂直,垂足为 D，直线 DC 与AB 的延长线相交于点P，弦CE 平分∠ACB，交AB 于点F，连接BE．

求证：(1)AC 平分∠DAB；

(2)△PCF 是等腰三角形．

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】试题分析：

（1）由已知条件证AD∥OC可得∠DAC=∠ACO；由OA=OC可得∠ACO=∠CAO；两者结合可得∠DAC=∠CAO，从而可得AC平分∠DAB；

（2）由AD⊥DC，AB 是⊙O 的直径，可得∠ADC=∠ACB=90°，从而可得∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠PCB=90°，这样可得∠DAC=∠PCB=∠CAO；由CE平分∠ACB可得∠ACF=∠BCF，这样可得∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，结合三角形外角性质可证得：∠PCF=∠PFC，从而可得PC=PF，就可得△PCF是等腰三角形.

试题解析：

（1）∵ PD 切⊙O 于点C，

∴OC⊥PD，

又AD⊥PD，

∴OC∥AD，

∴∠ACO＝∠DAC，

又OC＝OA，

∴∠ACO＝∠CAO，

∴∠DAC＝∠CAO，

即AC 平分∠DAB．

（2）∵AD⊥PD，

∴∠DAC＋∠ACD＝90°，

又AB 为⊙O 的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠PCB＋∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠PCB，

又∠DAC＝∠CAO，

∴∠CAO＝∠PCB，

∵CE 平分∠ACB，

∴∠ACF＝∠BCF，

∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF,

∴∠PFC＝∠PCF，

∴△PCF 是等腰三角形．