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【题目】如图,ABC中,AC=BCC=90°,点DAB的中点.

1)如图1,若点EF分别是ACBC上的点,且AE=CF,请判别DEF的形状,并说明理由;

2)若点EF分别是CABC延长线上的点,且AE=CF,则(1)中的结论是否仍然成立?请

说明理由.

【答案】(1)△DEF是等腰直角三角形. (2)仍然成立.

【解析】试题分析:

1连接CD如图1结合已知条件易证△AED≌△CFD,由此即可证得DE=DF∠EDF=90°,从而可得△DEF是等腰直角三角形;

2先根据题意画出符合要求的图形,如图2,连接CD结合已知条件易证△AED≌△CFD由此即可证得;DE=DF∠EDF=90°从而可得此时△DEF仍然是等腰直角三角形.

试题解析:

1△DEF是等腰直角三角形理由如下

如图1连接CD

∵AC=BC∠ACB=90°DBC边的中点,

CDBCA=DCF=45°CD=BC=AD

∵AE=CF

∴△AED≌△CFD

∴DE=DF∠ADE=∠CDF

∵CD⊥BC

∴∠CFD+∠CDE=∠ADE+∠CDE=∠CDA=90°即∠EDF=90°

∴△DEF是等腰直角三角形

2)如图2,(1)中结论仍然成立理由如下

连接CD∵AC=BC∠ACB=90°DBC边的中点,

CDBCA=DCB=45°CD=BC=AD

∴∠EAD=180°+45°=135°∠ACD=180°-45°=135°

∵AE=CF

∴△AED≌△CFD

∴DE=DF∠ADE=∠CDF

∵CD⊥BC

∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠CDA=90°即∠EDF=90°

∴△DEF是等腰直角三角形

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1)等边△ABC的边长为_______

2)在运动过程中,当t=_______时,MN垂直平分AB

3)若在△ABC开始平移的同时.点P从△ABC的顶点B出发.以每秒2个单位长度的速度沿折线BAAC运动.当点P运动到C时即停止运动.△ABC也随之停止平移.

①当点P在线段BA上运动时,若△PEF与△MNO相似.求t的值;

②当点P在线段AC上运动时,设,求St的函数关系式,并求出S的最大值及此时点P的坐标.

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