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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直线AC折叠,使点B落在点E处,AECD于点F,连接DE.

(1)求证:△DEC≌△EDA;

(2)求DF的值;

(3)在线段AB上找一点P,连结FP使FPAC,连结PC,试判定四边形APCF的形状,并说明理由,直接写出此时线段PF的大小.

【答案】(1)证明见解析;(2)DF=;(3)PF=.

【解析】

试题(1)、根据矩形的可得AD=BCAB=CD,根据折叠图形可得BC=ECAE=AB,则可得AD=CEAE=CD,从而得到三角形全等;(2)、设DF=x,则AF=CF=4x,根据Rt△ADF的勾股定理求出x的值;(3)、根据菱形的性质进行求解.

试题解析:(1)矩形ABCD ∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD ∴∠ACD=∠CAB

∵△AEC△ABC翻折得到 ∴AB="AE,BC=EC," ∠CAE=∠CAB ∴AD=CEDC=EA∠ACD=∠CAE

△ADE△CED∴△DEC≌△EDASSS);

(2)、如图1∵∠ACD=∠CAE∴AF=CF, 设DF=x,则AF=CF=4﹣x

RT△ADF中,AD2+DF2=AF2, 即32+x2=4﹣x2, 解得;x=, 即DF=

(3)、四边形APCF为菱形 设ACFP相较于点O ∵FP⊥AC ∴∠AOF=∠AOP

∵∠CAE=∠CAB∴∠APF=∠AFP ∴AF=AP ∴FC=AP

∵AB∥CD ∴四边形APCF是平行四边形 又∵FP⊥AC ∴四边形APCF为菱形 PF=

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(4)_________________________________;

(5)__________________________________.

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