【题目】如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF.
(1)求证:直线PA为⊙O的切线;
(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明;
(3)若BC=6,tan∠F= ,求cos∠ACB的值和线段PE的长.
【答案】
(1)解:连接OB,
∵PB是⊙O的切线,
∴∠PBO=90°,
∵OA=OB,BA⊥PO于D,
∴AD=BD,∠POA=∠POB,
又∵PO=PO,
∴△PAO≌△PBO(SAS),
∴∠PAO=∠PBO=90°,
∴OA⊥PA,
∴直线PA为⊙O的切线
(2)解:EF2=4ODOP.
证明:∵∠PAO=∠PDA=90°
∴∠OAD+∠AOD=90°,∠OPA+∠AOP=90°,
∴∠OAD=∠OPA,
∴△OAD∽△OPA,
∴ ,即OA2=ODOP,
又∵EF=2OA,
∴EF2=4ODOP
(3)解:∵OA=OC,AD=BD,BC=6,
∴OD= BC=3(三角形中位线定理),
设AD=x,
∵tan∠F= ,
∴FD=2x,OA=OF=2x﹣3,
在Rt△AOD中,由勾股定理,得(2x﹣3)2=x2+32,
解之得,x1=4,x2=0(不合题意,舍去),
∴AD=4,OA=2x﹣3=5,
∵AC是⊙O直径,
∴∠ABC=90°,
又∵AC=2OA=10,BC=6,
∴cos∠ACB= = .
∵OA2=ODOP,
∴3(PE+5)=25,
∴PE= .
【解析】(1)连接OB,根据垂径定理的知识,得出OA=OB,∠POA=∠POB,继而证明△PAO≌△PBO,然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论.(2)先证明△OAD∽△OPA,利用相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系,然后将EF=20A代入关系式即可.(3)根据题意可确定OD是△ABC的中位线,设AD=x,然后利用三角函数的知识表示出FD、OA,在Rt△AOD中,利用勾股定理解出x的值,继而能求出cos∠ACB,再由(2)可得 OA2=ODOP,代入数据即可得出PE的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y= x﹣1与抛物线y=﹣ x2+bx+c交于A,B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为﹣8,点P是直线AB上方的抛物线上的一动点(不与点A,B重合).
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)连接PA、PB,在点P运动过程中,是否存在某一位置,使△PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)过P作PD∥y轴交直线AB于点D,以PD为直径作⊙E,求⊙E在直线AB上截得的线段的最大长度.
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【题目】从邵阳市到长沙的高铁列车里程比普快列车里程缩短了75千米,运行时间减少了4小时,已知邵阳市到长沙的普快列车里程为306千米,高铁列车平均时速是普快列车平均时速的3.5倍.
(1)求高铁列车的平均时速;
(2)某日刘老师从邵阳火车南站到长沙市新大新宾馆参加上午11:00召开的会议,如果他买到当日上午9:20从邵阳市火车站到长沙火车南站的高铁票,而且从长沙火车南站到新大新宾馆最多需要20分钟.试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到吗?
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其对称轴为直线x=1,给出下列结论:
①b2-4ac>0;②2a+b=0;③abc>0;④3a+c>0.
则正确的结论个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】如图甲,直线PA交O于A、E两点,PA的垂线CD切O于点C,过点A作O的直径AB.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)将直线CD向下平行移动,在将直线CD向下平行移动的过程中,如图乙、丙,试指出与∠DAC相等的角(不要求证明).
(3)在图甲中,若DC+DA=6,O的直径为10,求AE的长度.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC是直角,AB=3,BC=4,P是BC边上的动点,设BP=x,若能在AC边上找到一点Q,使∠BQP=90°,则x的取值范围是 .
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【题目】如图,在矩形OABC中,OA=3,OC=2,F是AB上的一个动点(F不与A,B重合),过点F的反比例函数y= (k>0)的图象与BC边交于点E.
(1)当F为AB的中点时,求该函数的解析式;
(2)当k为何值时,△EFA的面积最大,最大面积是多少?
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