Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）当t取何值时PQ∥AB？
（3）是否存在某一时刻t，使得△PCQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再根据PQ∥AB，得到△QCP∽△ABC，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；
（3）根据题意画出图形，分CQ=CP，PQ=PC，QC=QP三种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$AB•CD．
∴CD=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8．
∴线段CD的长为4.8．

（2）设DP=t，CQ=t．则CP=4.8-t．
∵PQ∥AB，
∵△QCP∽△ABC
∴$\frac{CQ}{AB}=\frac{CP}{BC}$，即$\frac{t}{10}=\frac{4.8-t}{6}$，
∴t=3，
当t=3时，PQ∥AB；

（3）①若CQ=CP，如图1，
则t=4.8-t．
解得：t=2.4．
②若PQ=PC，如图2所示．
∵PQ=PC，PH⊥QC，
∴QH=CH=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{t}{2}$．
∵△CHP∽△BCA．
∴$\frac{CH}{BC}=\frac{CP}{AB}$，
∴$\frac{\frac{t}{2}}{6}$=$\frac{4.8-t}{10}$，解得t=$\frac{144}{55}$；
③若QC=QP，
过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．
同理可得：t=$\frac{24}{11}$．
综上所述：当t为2.4秒或$\frac{144}{55}$秒或$\frac{24}{11}$秒时，△CPQ为等腰三角形．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论．