Question

【题目】已知，如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x≤8），点E在边CD上，且CE＝CB，以AE为对角线作正方形AGEF．设正方形AGEF的面积y．

（1）当点F在矩形ABCD的边上时，x＝　 　．

（2）求y与x的函数关系式及y的取值范围．

（3）当矩形ABCD的一条边将正方形AGEF的面积分为1：3两部分时，直接写出x的值．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）y=x2﹣8x+32＝（x﹣4）2+16，16≤y≤32；（3）满足条件的x的值为2或6．

【解析】

（1）点F在矩形ABCD的边上时，AF＝EF＝FG＝BC，利用正方形的性质解决问题即可．

（2）根据y＝AE2＝（AD2+DE2），计算即可．

（3）分两种情形：①如图1中，设CD交AG于Q，当AQ＝GQ时，长方形ABCD的边CD将正方形AFEG的面积分成1：3两部分．②如图2中，设AD交EG于Q，当GQ＝EG时，长方形ABCD的边AD将正方形AFEG的面积分成1：3两部分．

解：（1）点F在矩形ABCD的边上时，AF＝EF＝FG＝BC，

∵EC＝BC，

∴AF＝FB＝4，

∴BC＝EC＝BF＝4，

故答案为4．

（2）y＝AE2＝（AD2+DE2）＝ [x2+（8﹣x）2]＝x2﹣8x+32＝（x﹣4）2+16．

∵0＜x≤8，

∴16≤y≤32．

（3）①如图1中，设CD交AG于Q，当AQ＝GQ时，长方形ABCD的边CD将正方形AFEG的面积分成1：3两部分．

则∵tan∠QEG＝tan∠QAD，

∴＝＝，

∵AD＝BC＝x，

∴DQ＝x，AQ＝GQ＝xEG＝x，

∴EQ＝x，

∵DQ+QE+CE＝8，

∴x+x+x＝8，

∴x＝2．

②如图2中，设AD交EG于Q，当GQ＝EG时，长方形ABCD的边AD将正方形AFEG的面积分成1：3两部分．

设DQ＝m，同法可得DE＝2m，QE＝GQ＝m，AQ＝5m，

∴6m＝x，

∴DE＝，

∵DE+CE＝8，

∴x+x＝8，

∴x＝6，

∴满足条件的x的值为2或6．