Question

【题目】问题探究：

新定义：

将一个平面图形分为面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）

解决问题：

已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2.

（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，直接写出AD的长；

（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并直接写出它们的长度. （要求：图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）

Answer 1

【答案】（1）AD=2；（2）符合题意的图形见解析，BE=，GH=2

【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，底边上的高线即可求得；

（2）作中线BE，中线BE即为一条等积线，利用勾股定理即可求得长度；

作GH//BC，GH将Rt△ABC的面积分为相等的两份，则GH即为一条等积线，根据相似三角形的性质即可求得长度.

试题解析：（1）在Rt△ADC中，

∵AC=2，∠C=45°，

∴AD=2；

（2）符合题意的图形如下所示：

E为AC中点，则有AE= ,

在Rt△ABE中，根据勾股定理可得BE= =；

GH∥BC，S△AGH=S△ABC，

∵GH//BC，∴△AGH∽△ABC，

∴，

∵∠A=90°，AB=AC=，∴BC==4，

∴，

∴GH=2.