【题目】(1)如图1,在△ABC中,∠A,P是BC边上的一点,,是点P关于AB、AC的对称点,连结,分别交AB、AC于点D、E.
①若,求的度数;
②请直接写出∠A与的数量关系:___________________________;
(2)如图2,在△ABC中,若∠BAC,用三角板作出点P关于AB、AC的对称点、,(不写作法,保留作图痕迹),试判断点,与点A是否在同一直线上,并说明理由.
【答案】(1)64°;(2)∠DPE=180°-2∠A;(3)在.
【解析】(1)①由轴对称的性质以及四边形内角和为360°可得:∠DPP1+∠DPE+∠EPP2+∠A=180°(i),由三角形外角的性质以及三角形内角和为180°得到2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2=180°(ii),解方程组即可得到结论
(2)由①得∠DPP1+∠DPE+∠EPP2+∠A=180°(i),2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2=180° (ii),解方程组即可得到结论.
(3)连接AP、AP1、AP2.根据轴对称的性质,可得:∠4=∠1,∠3=∠2, 由∠BAC=90°,得到∠3+∠4=90°,即有∠1+∠2+∠3+∠4=180°,从而得到结论.
(1)①∵点P、点P1关于直线AB对称,点P、点P2关于直线AC对称,∴PD=P1D,PE=P2E,∴∠P1=∠DPP1,∠P2=∠EPP2,∴∠EDP=2∠DPP1,∠DEP=2∠EPP2,∠DPP1+∠DPE+∠EPP2+∠A=180°(i)
∵2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2=180° (ii)
(ii)—(i)得:∠DPP1+∠EPP2=∠A,
又∵∠A=58°,∴∠DPP1+∠EPP2=58°,
∴∠DPE=64°
(2)∠DPE=180°-2∠A .理由如下:
由①得:∠DPP1+∠DPE+∠EPP2+∠A=180°(i)
2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2=180° (ii)
(i)×2-(ii)得:2∠A-∠DPE=180°,
∴∠DPE=180°-2∠A .
(3)点P1,A,P2在同一条直线上.理由如下:
连接AP、AP1、AP2.
根据轴对称的性质,可得:∠4=∠1,∠3=∠2,
∵∠BAC=90°,即∠1+∠2=90°,
∴∠3+∠4=90°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
即∠P1AP2=180°,
∴点P1 、A、P2在同一条直线上.
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【题目】如图,在等边三角形中,.射线,点从点出发沿射线以的速度运动,同点从点出发沿射线以的速度运动,设运动时间为;
(1)连接,当经过边的中点时,求证:;
(2)求当为何值,四边形是平行四边形.
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【题目】如图所示,已知AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BED=115°,那么∠BFD的度数是
A.62°B.64°C.57.5°D.60°
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【题目】如图,AB是⊙O的弦,D为OA半径的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)连接AF、BF,求∠ABF的度数;
(3)如果BE=10,sinA=,求⊙O的半径.
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【题目】“今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木?”这段话摘自《九章算术》,意思是说:如图,矩形城池ABCD,城墙CD长9里,城墙BC长7里,东门所在的点E,南门所在的点F分别是CD,BC的中点,EG⊥CD,EG=15里,FH⊥BC,点C在HG上,问FH等于多少里?答案是FH=________里.
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【题目】已知:如图,一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点,且点A的坐标为(1,m).
(1)求反比例函数y=的表达式;
(2)点C(n,1)在反比例函数y=的图象上,求△AOC的面积.
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【题目】问题探究:
新定义:
将一个平面图形分为面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”,其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”(例如圆的直径就是圆的“等积线段”)
解决问题:
已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2.
(1)如图1,若AD⊥BC,垂足为D,则AD是△ABC的一条等积线段,直接写出AD的长;
(2)在图2和图3中,分别画出一条等积线段,并直接写出它们的长度. (要求:图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等)
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【题目】一名同学调查了全班名同学分别喜欢相声、小品、歌曲、舞蹈节目的类别情况,并制成如下统计表:
最喜欢的节目类别 | 划记 | 人数 | 百分数(%) |
相声 | 正 | ||
小品 | 正正正一 | ||
歌曲 | 正正 | ||
舞蹈 | 正一 |
其中对这些节目类别的统计中,仅有一类节目的统计是完全正确的,该项统计类别是( )
A.相声B.小品C.歌曲D.舞蹈
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【题目】某学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球(每个篮球的价格相同,每个足球的价格相同),购买1个足球和2个篮球共需270元;购买2个足球和3个篮球共需440元.
(1)问足球和篮球的单价各是多少元?
(2)若购买足球和篮球共24个,且购买篮球的个数大于足球个数的2倍,购买球的总费用不超过2220元,问该学校有哪几种不同的购买方案?
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