【题目】如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,P是反比例函数y=(x>0)图象上任意一点,以P为圆心,PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B.
(1)求证:线段AB为⊙P的直径;
(2)求△AOB的面积;
(3)如图2,Q是反比例函数y=(x>0)图象上异于点P的另一点,以Q为圆心,QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D.求证:DOOC=BOOA.
【答案】(1)证明见解析;(2)24;(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)∠AOB=90°,由圆周角定理的推论,可以证明AB是⊙P的直径;
(2)将△AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来,容易计算出结果;
(3)对于反比例函数上另外一点Q,⊙Q与坐标轴所形成的△COD的面积,依然不变,与△AOB的面积相等.
试题解析:(1)证明:∵∠AOB=90°,且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角,
∴AB是⊙P的直径.
(2)解:设点P坐标为(m,n)(m>0,n>0),
∵点P是反比例函数y=(x>0)图象上一点,
∴mn=12.
如图,过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,则OM=m,ON=n.
由垂径定理可知,点M为OA中点,点N为OB中点,
∴OA=2OM=2m,OB=2ON=2n,
∴S△AOB=BOOA=×2n×2m=2mn=2×12=24.
(3)证明:∵以Q为圆心,QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D,∠COD=90°,
∴DC是⊙Q的直径.
若点Q为反比例函数y=(x>0)图象上异于点P的另一点,
参照(2),同理可得:S△COD=DOCO=24,
则有:S△COD=S△AOB=24,即BOOA=DOCO,
∴DOOC=BOOA.
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【题目】(满分10分)如图,直径为AB的⊙O交的两条直角边BC、CD于点E、F,且,连接BF.
(1)求证CD为⊙O的切线;(2)当CF=1且∠D=30°时,求AD长.
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【题目】如图,在△ABC中,∠CAB=70°,将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′的度数是( )
A. 70° B. 35° C. 40° D. 90°
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【题目】抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于点(0,3).
(1)求出m的值,并画出这条抛物线;
(2)求抛物线与x轴的交点和顶点坐标;
(3)当x取什么值时,抛物线在x轴上方?
(4)当x取什么值时,y的值随x的增大而减小.
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【题目】下列各组长度的线段为边,能构成三角形的是( )
A.7cm、5cm、12cmB.4cm、6cm、5cm
C.8cm、4cm、3cmD.6cm、8cm、15cm
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【题目】如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于点C,连接OA,AB=12,⊙O半径为10.
(1)求OC的长;
(2)点E,F在⊙O上,EF∥AB.若EF=16,直接写出EF与AB之间的距离.
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