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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,P是反比例函数y=x>0图象上任意一点,以P为圆心,PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B.

1求证:线段AB为P的直径;

2AOB的面积;

3如图2,Q是反比例函数y=x>0图象上异于点P的另一点,以Q为圆心,QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D.求证:DOOC=BOOA.

【答案】1证明见解析;224;3证明见解析.

【解析】

试题分析:1AOB=90°,由圆周角定理的推论,可以证明AB是P的直径;

2AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来,容易计算出结果;

3对于反比例函数上另外一点Q,Q与坐标轴所形成的COD的面积,依然不变,与AOB的面积相等.

试题解析:1证明:∵∠AOB=90°,且AOB是P中弦AB所对的圆周角,

AB是P的直径.

2解:设点P坐标为m,n)(m>0,n>0

点P是反比例函数y=x>0图象上一点,

mn=12.

如图,过点P作PMx轴于点M,PNy轴于点N,则OM=m,ON=n.

由垂径定理可知,点M为OA中点,点N为OB中点,

OA=2OM=2m,OB=2ON=2n,

SAOB=BOOA=×2n×2m=2mn=2×12=24.

3证明:以Q为圆心,QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D,COD=90°

DC是Q的直径.

若点Q为反比例函数y=x>0图象上异于点P的另一点,

参照2,同理可得:SCOD=DOCO=24,

则有:SCOD=SAOB=24,即BOOA=DOCO,

DOOC=BOOA.

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