Question

13．如图，抛物线y=$\frac{2}{9}$x²+bx+c经过点A（6，0）、B（3，4），与y轴交于点C，连结AB，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线上的动点，点B关于直线AM的对称点B'在x轴上，求点M的坐标；
（3）点P以每秒2个单位长度的速度O→C→B→A匀速运动，同时点Q以每秒1个单位长度沿A→O匀速运动，设运动的时间为t，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，求t为何值时，以点B、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？（双动点与直角三角形存在性）

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决即可．
（2）分两种情形求解即可①当AM平分∠OAB时，点B关于直线AM的对称点B'在x轴上，②作AK⊥AM，则点B关于直线AM的对称点B'在x轴上，分别利用方程组求出交点坐标即可．
（3）分四种情形讨论①如图2中，当∠PBQ=90°时，作BK⊥OA于K则四边形BCOK是矩形，BC=OK=3，BK=OC=4，AK=3．②如图3中，当BQ⊥OA时，∠PBQ=90°，△PBQ是直角三角形，此时t=3．③如图4中，当PQ⊥OA时，∠QPB=90°，△PQB是直角三角形，列出方程即可．④如图5中，当∠QPB=90°时，由△ABK∽△AQP得到$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AK}$，可得方程$\frac{t}{5}$=$\frac{12-2t}{3}$，由此即可解决问题．

解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{-8+6b+c=0}\\{-2+3b+c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{2}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{9}$x²+$\frac{2}{3}$x+4．

（2）如图1中，

①当AM平分∠OAB时，点B关于直线AM的对称点B'在x轴上，
∴AB′=AB=5，B′（1，0），
∴直线BB′的解析式为y=2x-2，
∴直线AM的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=-\frac{2}{9}{x}^{2}+\frac{2}{3}x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{4}}\\{y=\frac{27}{8}}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（-$\frac{3}{4}$，$\frac{27}{8}$）．
②作AK⊥AM，则点B关于直线AM的对称点B'在x轴上，
∵直线AK的解析式为y=2x-12，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-12}\\{y=-\frac{2}{9}{x}^{2}+\frac{2}{3}x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-12}\\{y=-36}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（-12，-36），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（-$\frac{3}{4}$，$\frac{27}{8}$）或（-12，-36）．

（4）①如图2中，当∠PBQ=90°时，作BK⊥OA于K则四边形BCOK是矩形，BC=OK=3，BK=OC=4，AK=3．

∵PB²+BQ²=PQ²，
∴3²+（4-2t）²+4²+（3-t）²=（2t）²+（6-t）²，
解得t=$\frac{7}{5}$．
②如图3中，当BQ⊥OA时，∠PBQ=90°，△PBQ是直角三角形，此时t=3．

③如图4中，当PQ⊥OA时，∠QPB=90°，△PQB是直角三角形，此时（2t-4）+t=6，t=$\frac{10}{3}$．

④如图5中，当∠QPB=90°时，

由△ABK∽△AQP得到$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AK}$，
∴$\frac{t}{5}$=$\frac{12-2t}{3}$，
∴t=$\frac{60}{13}$．
综上所述，当△PBQ是直角三角形时，t的值为$\frac{7}{5}$s或3s或$\frac{10}{3}$s或$\frac{60}{13}$s．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、勾股定理，两条直线垂直k的乘积为-1、直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．