Question

如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/秒的速度沿AC方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以1cm/秒的速度沿CB方向向终点B运动，过点P、Q分别作边AB的垂线段PM、PN，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（0＜t＜3），四边形MNQP的面积为S cm²．

（1）在点P、Q在运动的过程中，t为何值时，PQ∥AB？

（2）求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．

（3）是否存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

 

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）当PQ∥AB时，由△ABC是等边三角形，得出△PQC是等边三角形，PC=QC，得出方程6﹣2t=t，解方程即可；（2）△APM和△BQN都是有一个角是60°的直角三角形，根据勾股定理可分别求出AM，PM，BN和QN，然后求出直角梯形的高MN．用梯形面积公式求出四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式；

（3）根据题意列出方程即可解得t的值，然后看是否满足0＜t＜4．

【解答】解：（1）t=2s时，PQ∥AB；理由如下：

当PQ∥AB时，∵△ABC是等边三角形，

∴△PQC是等边三角形，

∴PC=QC，

∴6﹣2t=t，

解得：t=2，

即t=2s时，PQ∥AB；

（2）根据题意得：AP=2t，QB=8﹣t，△APM和△QNB是直角三角形，四边形MNQP是直角梯形．

在Rt△APM和Rt△QNB中，AM=AP=t，PM=t，BN=（6﹣t），QN=（6﹣t），

∴MN=AB﹣AM﹣BN=6﹣t﹣（6﹣t）=3﹣t，

∴S=（PM+QN）•MN= [t+（6﹣t）]•（3t）=﹣t²+，

即S=﹣t²+；

（3）假设存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的，

即S=S_△ABC，

﹣t²+=××6²，

整理得：t²=8，

解得：t=±2（负值舍去），

∴t=2s时，四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的．

【点评】本题是相似形综合题，考查了正三角形的性质和直角三角形的性质、三角形和梯形面积的计算、函数解析式的求法以及方程的知识；本题难度较大，综合性强，把函数和面积融合在一起，比较复杂，检测学生的计算能力．