Question

【题目】已知正方形在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴的正半轴上，等腰直角三角形的直角顶点在原点，，分别在，上，且，．将绕点逆时针旋转，得点，旋转后的对应点为，．

（Ⅰ）①如图①，求的长；②如图②，连接，，求证；

（Ⅱ）将绕点逆时针旋转一周，当时，求点的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①；②见解析；（Ⅱ）点的坐标为或．

【解析】

（1）①根据勾股定理求出EF的长，的长；根据SAS定理证明即可；

（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以O为圆心，OE（或OF）长为半径的圆，若CF⊥OF，那么CF必为⊙O的切线，且切点为F；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也有两个；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解．

解：（Ⅰ）①∵等腰直角三角形的直角顶点在原点，，

∴，．

在中，由勾股定理，得．

∵是由绕点逆时针旋转得到的，

∴．

②∵四边形为正方形，

∴，

∵将绕点逆时针旋转，得，

∴，

又是等腰直角三角形，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴．

（Ⅱ）如图，

∵OE⊥OF，

∴过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直，

当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，

则点F在以O为圆心，以OF为半径的圆上．

∴过点F与OF垂直的直线必是圆O的切线．

又点C是圆O外一点，过点C与圆O相切的直线有且只有2条，不妨设为CF1和CF2，

此时，E点分别在E1点和E2点，满足CF1∥OE1，CF2∥OE2．

当切点F1在第二象限时，点E1在第一象限．

cos∠COF1=，

∴∠COF1=60°，∴∠AOE1=60°．

∴点E1的横坐标为：xE1=2cos60°=1，

点E1的纵坐标为：yE1=2sin60°=，

∴点E1的坐标为(1，)；

当切点F2在第一象限时，点E2在第四象限．

同理可求：点E2的坐标为(1，-)．

综上所述，三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE∥CF，

此时点E的坐标为E1(1，)或E2(1，-)．