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【题目】如图所示,已知抛物线y=﹣x2+bx+cx轴相交于AB两点,且点A的坐标为(10),与y轴交于点C,对称轴直线x2x轴相交于点D,点P是抛物线对称轴上的一个动点,以每秒1个单位长度的速度从抛物线的顶点E向下运动,设点P运动的时间为ts).

1)点B的坐标为   ,抛物线的解析式是   

2)求当t为何值时,△PAC的周长最小?

3)当t为何值时,△PAC是以AC为腰的等腰三角形?

【答案】(1)(30),y=﹣x2+4x3;(2t2;(3t44+4.

【解析】

1)把A点坐标与对称轴x=1代入解析式即可求出bc的值,即可求出解析式,故求出B点坐标;(2)由图可知,AC是定长,故只要求出PA+PC最小时,则PAC的周长最小,又点A关于对称轴x=2的对称点是点B,故连接BC与抛物线对称轴的交点即为P点,此时PA+PC最小,则求出直线BC的解析式与x=2的交点即为P点坐标继而求出t的值;(3)根据AC为腰可分两种情况,①CPAC可作图,根据ACCPCF2,利用勾股定理可求出PF的长,继而求出时间t,注意还要要分两种情况,ACAP可作图,利用RtOACRtDAP得出DP=CO=3,故而求出EP的长,即可求出时间t.

解:(1)根据题意得:

解得:b4c=﹣3

∴抛物线解析式y=﹣x2+4x3

y0时,0=﹣x2+4x3

x11x23

∴点B30

故答案为:(30),y=﹣x2+4x3

2)如图:

∵△PAC的周长=AC+PA+PC

AC是定长,

PA+PC最小时,△PAC的周长最小

∵点A,点B关于对称轴直线x2对称

∴连接BC交对称轴直线x2于点P

y=﹣x2+4x3y轴交于点C,点E为抛物线的顶点

∴点C0,﹣3),点E21

OC3,点D20)即DE1

∵点B30),点C0,﹣3

∴直线BC解析式:yx3

x2时,y=﹣1

∴点P2,﹣1

t2

3)若CPAC时,如图:过点CCFED于点F

∵点A10),点C0,﹣3

OA1OC3

AC

CFDEDEODOCOD

∴四边形ODFC是矩形

CFOD2DFOC3

ACCPCF2

PF

DP3±

EP4±

t14+t24

若点ACAP时,如图

∵点A10),点D20

OAAD1,且ACAP

RtOACRtDAPHL

OCDP3

EP4

t4

综上所述:t44+4.

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