Question

11．一张矩形纸片ABCD的边长分别为9厘米和3厘米，把顶点A和C叠合在一起，得到折痕EF．
（1）证明四边形AECF是菱形；
（2）计算BF及折痕EF的长；
（3）求△CEH的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据平行四边形的判定定理求出四边形AECF是平行四边形，再根据AF=CF即可求出答案；
（2）根据图形折叠的性质可得到AF=CF，设AF=x，则CF=x，BF=9-x，在Rt△BCF中，利用勾股定理即可求出CF、BF的长，过E作EM⊥AB交AB于M，在Rt△EMF中利用勾股定理即可求出EF的长；
（3）根据对称的性质可知△CEH≌△AED，再由三角形的面积公式即可求解．

解答 解：（1）如图，

∵AB∥CD，
∴AF∥CE，CF∥HE，
根据对称性，知∠CEH=∠AED，
∵D、E、C三点共线，
∴A、E、H三点共线，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AF=CF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）设AF=x，则CF=x，BF=9-x．
在△BCF中，CF²=BF²+BC²，
∴x²=（9-x）²+3²，
解得x=5，即CF=5，BF=4．
过E作EM⊥AB交AB于M，则MF=BM-BF=CE-BF=CF-BF=1，
EM=3．
∴$EF=\sqrt{E{M}^{2}+M{F}^{2}}=\sqrt{10}$；
（3）根据对称性，知△CEH≌△AED，
所以S_△CEH=S_△AED=$\frac{1}{2}$DE•AD=$\frac{1}{2}$（AF-MF）•AD=$\frac{1}{2}$×4×3=6（cm²）．

点评 本题考查的是图形折叠的性质及勾股定理，解答此类问题时首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．