Question

16．已知a=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$，试求a⁵-7a⁴+6a³-7a²+11a+13的值．

Answer 1

分析 首先化简a=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$=$\sqrt{10}$+3，得出a-3=$\sqrt{10}$，进一步得出a²-6a=1，分步分解整体代入求得答案即可．

解答 解：∵a=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
=$\frac{（2\sqrt{2}+\sqrt{5}）（\sqrt{5}+\sqrt{2}）}{（\sqrt{5}-\sqrt{2}）（\sqrt{5}+\sqrt{2}）}$
=$\frac{3\sqrt{10}+9}{3}$
=$\sqrt{10}$+3，
∴a-3=$\sqrt{10}$，
a²-6a+9=10，
即a²-6a=1，
∴a⁵-7a⁴+6a³-7a²+11a+13
=a³（a²-6a）-a²（a²-6a）-7a²+11a+13
=a³-8a²+11a+13
=a（a²-6a）-2（a²-6a）-a+13
=a-2-a+13
=11．

点评 此题考查二次根式的化简求值，分解因式的运用，注意抓住式子的特点，灵活分解解决问题．