[题目]在△ABC中.∠ACB=90°.AB=25.BC=15.(1)如图1.折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处.折痕交AC.AB分别于Q.H.若.则HQ= .(2)如图2.折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处.折痕交AC.AB分别于E.F.若FM∥A.求证:四边形AEMF是菱形,(3)在(1)(2)的条件下.线段CQ上是否存在点P.使得△CMP和△HQP相似?若存在.求出PQ的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，AB=25，BC=15.

（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若，则HQ= .

（2）如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F.若FM∥A，求证：四边形AEMF是菱形；

（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）HQ=5；（2）证明见解析；（3）PQ=或..

【解析】

（1）利用勾股定理求出AC，设HQ=x，根据S△ABC=9S△DHQ，构建方程即可解决问题；

（2）想办法证明四边相等即可解决问题；

（3）设AE=EM=FM=AF=4m，则BM=3m，FB=5m，构建方程求出m的值，分两种情形分别求解即可解决问题；

（1）如图1中，

在△ABC中，90°，AB=25,BC=15,

,设HQ=x，

故答案为：5.

（2）如图2中，

由翻折不变可知：AE=EM,AF=FM,∠AFE=∠MFE

（3）如图3中，

设AE=AE=FM=AF=4m，则BM=3m，FB=5m，

设PQ=x

当时，△HQP△MCP

解得：

当时，△HQP△PCM

解得：

经检验：是分式方程的解，且符合题意,

综上所诉，满足条件长QP的值为或者.

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