【题目】如图,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.
(1)求证:AE=BF.
(2)连接GB,EF,求证:GB∥EF.
(3)若AE=1,EB=3,求DG的长.
【答案】
(1)证明:连接BD,
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠A=∠C=45°,
∵AB为圆O的直径,
∴∠ADB=90°,即BD⊥AC,
∴AD=DC=BD= AC,∠CBD=∠C=45°,
∴∠A=∠FBD,
∵DF⊥DG,
∴∠FDG=90°,
∴∠FDB+∠BDG=90°,
∵∠EDA+∠BDG=90°,
∴∠EDA=∠FDB,
在△AED和△BFD中,
,
∴△AED≌△BFD(ASA),
∴AE=BF
(2)证明:连接EF,BG,
∵△AED≌△BFD,
∴DE=DF,
∵∠EDF=90°,
∴△EDF是等腰直角三角形,
∴∠DEF=45°,
∵∠G=∠A=45°,
∴∠G=∠DEF,
∴GB∥EF
(3)解:∵AE=BF,AE=1,
∴BF=1,
在Rt△EBF中,∠EBF=90°,
∴根据勾股定理得:EF2=EB2+BF2,
∵EB=3,BF=1,
∴EF= = ,
∵△DEF为等腰直角三角形,∠EDF=90°,
∴cos∠DEF= ,
∵EF= ,
∴DE= × = ,
∵∠G=∠A,∠GEB=∠AED,
∴△GEB∽△AED,
∴ = ,即GEED=AEEB,
∴ GE=3,即GE= ,
则GD=GE+ED= .
【解析】(1)连接BD,由△ABC为等腰直角三角形,可求出∠A与∠C的度数,根据AB为圆的直径,得到∠ADB为直角,即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到AD=DC=BD,进而得出∠A=∠FBD,再证明△AED≌△BFD,即可得证。
(2)连接EF,BG,由△AED≌△BFD,得到ED=FD,进而证得△DEF为等腰直角三角形,再证明∠G=∠DEF,即可得证;
(3)根据全等三角形对应边相等得到AE=BF=1,在Rt△BEF中,利用勾股定理求出EF的长,利用锐角三角形函数定义求出DE的长,利用两对角相等的三角形相似得到△GEB∽△AED,得对应边成比例,即可求出GE的长,由GE+ED求出GD的长即可。
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【题目】如图,已知点A是双曲线y= 在第一象限分支上的一个动点,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为边作等边△ABC,点C在第四象限内,且随着点A的运动,点C的位置也在不断变化,但点C始终在双曲线y= 上运动,则k的值是 .
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【题目】某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售,很快销售一空,商家又用24000元第二次购进同款机器人,所购进数量是第一次的2倍,但单价贵了10元.
(1)求该商家第一次购进机器人多少个?
(2)若所有机器人都按相同的标价销售,要求全部销售完毕的利润率不低于20%(不考虑其它因素),那么每个机器人的标价至少是多少元?
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【题目】已知:如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(﹣1,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△MCB的面积S△MCB .
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【题目】某同学在用描点法画二次函数y= +bx+c的图象时,列出了下面的表格:
x | … | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | … |
y | … | ﹣11 | ﹣2 | 1 | ﹣2 | ﹣5 | … |
由于粗心,他算错了其中一个y值,则这个错误的数值是( ).
A.﹣11 B.﹣2 C.1 D.﹣5
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【题目】如图,正方形OABC,ADEF的顶点A,D,C在坐标轴上,点F在AB 上,点B,E在函数 ( )的图象上,若阴影部分的面积为12 - ,则点E的坐标是
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