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【题目】如图,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.

(1)求证:AE=BF.
(2)连接GB,EF,求证:GB∥EF.
(3)若AE=1,EB=3,求DG的长.

【答案】
(1)证明:连接BD,

在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,

∴∠A=∠C=45°,

∵AB为圆O的直径,

∴∠ADB=90°,即BD⊥AC,

∴AD=DC=BD= AC,∠CBD=∠C=45°,

∴∠A=∠FBD,

∵DF⊥DG,

∴∠FDG=90°,

∴∠FDB+∠BDG=90°,

∵∠EDA+∠BDG=90°,

∴∠EDA=∠FDB,

在△AED和△BFD中,

∴△AED≌△BFD(ASA),

∴AE=BF


(2)证明:连接EF,BG,

∵△AED≌△BFD,

∴DE=DF,

∵∠EDF=90°,

∴△EDF是等腰直角三角形,

∴∠DEF=45°,

∵∠G=∠A=45°,

∴∠G=∠DEF,

∴GB∥EF


(3)解:∵AE=BF,AE=1,

∴BF=1,

在Rt△EBF中,∠EBF=90°,

∴根据勾股定理得:EF2=EB2+BF2

∵EB=3,BF=1,

∴EF= =

∵△DEF为等腰直角三角形,∠EDF=90°,

∴cos∠DEF=

∵EF=

∴DE= × =

∵∠G=∠A,∠GEB=∠AED,

∴△GEB∽△AED,

= ,即GEED=AEEB,

GE=3,即GE=

则GD=GE+ED=


【解析】(1)连接BD,由△ABC为等腰直角三角形,可求出∠A与∠C的度数,根据AB为圆的直径,得到∠ADB为直角,即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到AD=DC=BD,进而得出∠A=∠FBD,再证明△AED≌△BFD,即可得证。
(2)连接EF,BG,由△AED≌△BFD,得到ED=FD,进而证得△DEF为等腰直角三角形,再证明∠G=∠DEF,即可得证;
(3)根据全等三角形对应边相等得到AE=BF=1,在Rt△BEF中,利用勾股定理求出EF的长,利用锐角三角形函数定义求出DE的长,利用两对角相等的三角形相似得到△GEB∽△AED,得对应边成比例,即可求出GE的长,由GE+ED求出GD的长即可。

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x

﹣2

﹣1

0

1

2

y

﹣11

﹣2

1

﹣2

﹣5

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A.﹣11 B.﹣2 C.1 D.﹣5

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