Question

【题目】在平面直角坐标系XOY中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．

①是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②当△PDC与△COA相似时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①当P（4，6）时，PD的长度最大，最大值是；②当△PDC与△COA相似时，点P的坐标为（6，4）或（3， ）．

【解析】

（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，即可求解；

（2）①在Rt△PDE中，PD＝PEsin∠PED＝PEsin∠OCB＝PE，即可求解；②分∠PCD＝∠CBO、∠PCD＝∠BCO两种情况，分别求解．

（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，，解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），

将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，

①如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，

Rt△BOC中，OC＝4，OB＝8，

∴BC＝，

在Rt△PDE中，PD＝PEsin∠PED＝PEsin∠OCB＝PE，

∴当线段PE最长时，PD的长最大，

设P（t，），则E（t，﹣t+4），

∴PE＝PG﹣EG＝，（0＜t＜8），

当t＝4时，PE有最大值是4，此时P（4，6），

∴PD═，

即当P（4，6）时，PD的长度最大，最大值是；

②∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），

∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，

∴AC2＝22+42＝20，AB2＝（2+8）2＝100，BC2＝42+82＝80，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∴△COA∽△BOC，

当△PDC与△COA相似时，就有△PDC与△BOC相似，

∵相似三角形的对应角相等，

∴∠PCD＝∠CBO或∠PCD＝∠BCO，

（I）若∠PCD＝∠CBO时，即Rt△PDC∽Rt△COB，

此时CP∥OB，

∵C（0，4），

∴yP＝4，

∴＝4，

解得：x1＝6，x2＝0（舍），

即Rt△PDC∽Rt△COB时，P（6，4）；

（II）若∠PCD＝∠BCO时，

即Rt△PDC∽Rt△BOC，

如图2，过P作x轴的垂线PG，交直线BC于F，

∴PF∥OC，

∴∠PFC＝∠BCO，

∴∠PCD＝∠PFC，

∴PC＝PF，

设P（n，），则PF＝﹣n2+2n，

过P作PN⊥y轴于N，

Rt△PNC中，PC2＝PN2+CN2＝PF2，

∴n2+（﹣4）2＝（﹣n2+2n）2，

解得：n＝3，

即Rt△PDC∽Rt△BOC时，P（3，）；

综上所述，当△PDC与△COA相似时，点P的坐标为（6，4）或（3，）．