Question

15．如图1为两个边长为1的正方形组成的2×1格点图，点A，B，C，D都在格点上，AB，CD交于点P，则tan∠BPD=3，如果是n个边长为1的正方形组成的n×1格点图，如图2，那么tan∠BPD=$\frac{n+1}{n-1}$．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥DP于H点，设小正方形的边长为1，根据勾股定理可计算出CD=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{5}$，再根据三角形面积公式可计算出DH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，由BC∥AD得到△APD∽△BPC，利用相似比得到PD=2PC，所以PD=$\frac{2}{3}$CD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，接着在Rt△PHC中，根据勾股定理计算出PH=$\frac{2\sqrt{5}}{15}$，最后利用正切的定义求解．
（2）类比（1）的解题过程，即可解答．

解答 解：作DH⊥BP于H点，如图，

设小正方形的边长为1，则AD=2，
在Rt△BCD中，CD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$DH•AB=$\frac{1}{2}$AD•BD，
∴DH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵AD∥BC，
∴△APD∽△BPC，
∴$\frac{DP}{CP}=\frac{AD}{BC}=\frac{2}{1}$，
即DP=2PC，
∴PD=$\frac{2}{3}$CD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
在Rt△PHD中，PH=$\sqrt{P{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{15}$，
∴tan∠BPD=$\frac{DH}{PH}$=3．
如果是n个边长为1的正方形组成的n×1格点图，那么tan∠BPD=$\frac{n+1}{n-1}$．
故答案为：3，$\frac{n+1}{n-1}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．