Question

6．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，以B为圆心、1为半径作圆，设点P为⊙B上一点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接DA、PD、PB．
（1）求证：AD=BP；
（2）若DP与⊙B相切，则∠CPB的度数为45°或135°；
（3）如图2，当B、P、D三点在同一条直线上时，求BD的长；
（4）BD的最小值为1，此时tan∠CBP=1；BD的最大值为3，此时tan∠CBP=-1．

Answer 1

分析 （1）根据SAS即可证明△ACD≌△BCP，再根据全等三角形的性质可得AD=BP；
（2）利用切线的性质结合等腰直角三角形得出即可；
（3）当B、P、D三点在同一条直线上时利用勾股定理，可得BD的长；
（4）当∠PBC=45°时，BD有最小值；进而得出BD有最大值．

解答 （1）证明：如图1，∵∠ACB=90°，∠DCP=90°，
∴∠ACD=∠BCP
在△ACD与△BCP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCP}\\{CD=CP}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCP（SAS）
∴AD=BP；

（2）解：如图2，∵CP=CD，DP是⊙B的切线，∠PCD=90°，
∴∠BPD=90°，∠ADP=∠APD=45°，
∴∠CPB=45°+90°=135°，
同理可得：∠CPB=45°
故∠CPB=45°或135°；
故答案为：故∠CPB=45°或135°；

（3）解：∵△CDP为等腰直角三角形，
∴∠CDP=∠CPD=45°，∠CPB=135°，
由（1）知，△ACD≌△BCP，
∴∠CDA=∠CPB=135°，AD=BP=1，
∴∠BDA=∠CDA-∠CDP=90°，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$；

（4）解：如图3，当B、D、A三点在同一条直线上时，BD有最小值，
由（1）得△ACD≌△BCP，
此时∠PBC=45°时，BD的最小值为1，此时tan∠CBP=1；
同理可得：如图4，当B、D、A三点在同一条直线上时，
由（1）得△ACD≌△BCP，BD的最大值为：AB+AD=AB+BP=3，
此时tan∠CBP=tan135°=-1．
故答案为：1，1，3，-1．

点评 此题考查了圆的综合题，涉及的知识有全等三角形的判定与性质，分类思想的运用，最大值与最小值，注意分析问题要全面，以免漏解，有一定的难度．