Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，P，Q在直线BC上，且∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y，则下列结论正确的是（　　）

• A． 当x≠y时，△APB≌△AQC
• B． 当x=y时，∠APB=∠PAB=45°
• C． 当x=2y时，$\frac{AP}{AQ}$=$\sqrt{2}$
• D． 当x•y=4时，AB=4

Answer 1

分析 由AB=AC，∠BAC=20°，得∠ABC=80°，即∠P+∠PAB=80°，由∠BAC=20°，∠PAQ=100°，得∠PAB+∠QAC=80°，由此可得∠P=∠QAC，同理可证∠PAB=∠Q，从而证明△PAB∽△AQC，利用相似比求函数关系式，进而分别判断得出即可．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=20°，
∴∠ABC（180°-∠BAC）÷2=80°，即∠P+∠PAB=80°，
又∵∠BAC=20°，∠PAQ=100°，
∴∠PAB+∠QAC=80°，
∴∠P=∠QAC，
同理可证∠PAB=∠Q，
∴△PAB∽△AQC，
∴$\frac{PB}{AC}$=$\frac{AB}{QC}$，即$\frac{x}{a}$=$\frac{a}{y}$，
∴xy=a²，
A、当x≠y时，无法得到△APB≌△AQC，故此选项错误；
B、当x=y时，△APB≌△AQC，则∠APB=∠PAB=40°，故此选项错误；
C、当x=2y时，则2y²=a²，即$\sqrt{2}$y=a，故$\frac{AB}{QC}$=$\frac{AP}{AQ}$，则$\frac{AP}{AQ}$=$\sqrt{2}$，故此选项正确；
D、当x•y=4时，AB=2，故此选项错误．
故选：C．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用等腰三角形的性质，外角的性质证明角相等，从而证明三角形相似，利用相似比得函数关系式．