Question

5．已知B村庄位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为24km，一辆摩托车从B村庄以60km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此摩托车与A观测点之间的距离AC的长（精确到0.1km）．（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{5}$≈2.24．

Answer 1

分析 根据在Rt△ADB中，sin∠DAB=$\frac{DB}{AB}$，得出AB的长，进而得出tan∠BAH=$\frac{BH}{AH}$，求出BH的长，即可得出AH以及CH的长，进而得出答案．

解答 解：在Rt△ADB中，sin∠DAB=$\frac{DB}{AB}$，sin53.2°≈0.8，
所以AB=$\frac{DB}{sin∠DAB}$≈$\frac{24}{0.8}$=30，
如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，
在Rt△AHB中，∠BAH=∠DAC-∠DAB=79.8°-53.2°=26.6°，
tan∠BAH=$\frac{BH}{AH}$，
∵tan26.6°≈0.50，
∴0.5=$\frac{BH}{AH}$，
AH=2BH，
BH²+AH²=AB²，BH²+（2BH）²=30²，BH=6$\sqrt{5}$，所以AH=12$\sqrt{5}$，
∵摩托车从B村庄以60km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，
∴BC=60×$\frac{15}{60}$=15km，
∴CH=$\sqrt{B{C}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-（6\sqrt{5}）^{2}}$=3$\sqrt{5}$（km）
在Rt△BCH中，BH²+CH²=BC²，CH=3$\sqrt{5}$km，
所以AC=AH-CH=12$\sqrt{5}$-3$\sqrt{5}$=9$\sqrt{5}$≈20.2km，
答：此摩托车与A观测点之间的距离AC的长约为20.2km．

点评 此题主要考查了解直角三角形中方向角问题，根据已知构造直角三角形得出BH的长是解题关键．