Question

16．如图，Rt△ABC中，AB=BC=2，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则EB+ED的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}+1$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由等腰直角三角形补全正方形，找B′C的中点D′，通过证明三角形全等找出ED=ED′，再由三角形内两边之和大于第三边得出当B、E、D′三点共线时，EB+ED′最小，由勾股定理可在Rt△BCD′中求出BD′的值，从而得出结论．

解答 解：将等腰直角三角形补充成正方形，其中B点与B′点相对，取B′C的中点D′，连接D′B交AC于点E，如图所示．

∵四边形ABCB′为正方形，且D为BC中点，D′为B′C中点，
∴DC=D′C，∠DCE=∠D′CE=45°，
即在△DCE与△D′CE中，有$\left\{\begin{array}{l}{DC=D′C}\\{∠DCE=∠D′CE}\\{EC=EC}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△D′CE，
∴ED=ED′．
当B、E、D′三点共线时，EB+ED′最小（三角形内边之和大于第三边）．
在Rt△BCD′中，BC=2，CD′=$\frac{1}{2}$BC=1，∠BCD′=90°，
由勾股定理可知：BD′=$\sqrt{B{C}^{2}+CD{′}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故选C．

点评 本题考查了正方形的性质、轴对称-最短线路问题，解题的关键是找出ED′=ED．本题属于基础题，在求最短线路中也是属于简单题的存在，解决该类问题一般都是找到其中一个点关于直线的对称点再连接，该题巧合在三角形为等腰直角三角形，故只需补充成正方形即可．