Question

6．如图，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴相交于点F．
（1）求直线BC的解析式；
（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P．
①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交，求r的取值范围；
②若r=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，是否存在点P使⊙P与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0的求得y=3，可得到点C的坐标，令y=0得到关于x的一元二次方程可求得x的值，从而得到点B的坐标，然后依据顶点系数法可求得BC的解析式；
（2）先求得抛物线的顶点D的坐标，然后再求得点E的坐标，从而得到DE的长，然后依据面积法求得点D到BC的距离，然后由d＜r时，直线与圆相交可求得r的取值范围；
（3）由（2）可知DE=r=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，然后分别过点D、点F作BC的平行线，交抛物线与点P₁、P₂、P₃，然后先求得直线DP₁、P₂P₃的解析式，最后求得直线与抛物线的交点坐标即可．

解答 解：（1）∵当x=0时，y=3，
∴C（0，3）．
∵当y=0时，$-\frac{1}{4}$x²+x+3=0，解得：x₁=-2，x₂=6，
∴B（6，0）．
设BC的解析式为y=kx+b．
∵将B（6，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=3，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．
（2）如图1所示：连接CD、BD，过点D作DG⊥BC，垂足为G．

∵OC=3，OB=6，
∴BC=3$\sqrt{5}$．
∵$y=-\frac{1}{4}{x^2}+x+3$=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+4，
∴D（2，4）．
∵将x=2代入y=-$\frac{1}{2}$x+3得，y=2，
∴E（2，2）．
∴DE=2．
∵△BCD的面积=$\frac{1}{2}$DE•OB=$\frac{1}{2}$BC•DG，
∴2×6=3$\sqrt{5}$DG，解得：DG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴当r＞$\frac{4\sqrt{5}}{5}$时，直线BC与圆P相交．
②∵$r=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，DG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴DG=r．
∴当点P的坐标为（2，4）时，⊙P与直线BC相切．
如图2所示，过点D作DP₁∥BC，过点F作FP₂∥BC，直线P₂F交抛物线与点P₃．

设直线DP₁的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b．
∵将D（2，4）代入得：-$\frac{1}{2}$×2+b=4，解得：b=5，
∴直线DP₁的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5．
将y=-$\frac{1}{2}$x+5与y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3联立得：-$\frac{1}{4}$x²+x+3=-$\frac{1}{2}$x+5，解得：x₁=2，x₂=4，
∵将x=4代入，y=-$\frac{1}{2}$x+5得：y=-$\frac{1}{2}$×4+5=-2+5=3，
∴P₁（4，3）．
∵DP₁∥BC，FP₂∥BC，DE=EF，
∴点P₂、P₃到直线BC的距离=r=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
设直线FP₂的解析式为y=$-\frac{1}{2}$x+b₁．
∵将点F的坐标代入得：-$\frac{1}{2}$×2+b₁=0，解得：b₁=1，
∴直线FP₂得解析式为y=-$\frac{1}{2}x$+1．
将y=-$\frac{1}{2}x$+1与y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3联立得：-$\frac{1}{4}$x²+x+3=-$\frac{1}{2}$x+1，解得：x₁=3+$\sqrt{17}$，x₂=3-$\sqrt{17}$，
∵将x=3+$\sqrt{17}$代入y=-$\frac{1}{2}$x+1得：y=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴P₂（3+$\sqrt{17}$，-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{17}}{2}$）．
∵将x=3-$\sqrt{17}$代入y=-$\frac{1}{2}$x+1得：y=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴P₃（3-$\sqrt{17}$，-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{17}}{2}$）．
综上所述点P的坐标为（2，4）或（4，3）或（3+$\sqrt{17}$，-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{17}}{2}$）或（3-$\sqrt{17}$，-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了函数图象上的点坐标与函数解析式的关系、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积公式、直线和圆的位置关系，求得直线DP₁、P₂P₃的解析式是解题的关键．