Question

16．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象如图，有下列8个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；⑥2a+b=0；⑦b²-4ac≤0；⑧（a+c）²＞b²
其中正确的结论有③④⑤⑥⑧．

Answer 1

分析 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答 解：①由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$＞0，
而a＜0，所以b＞0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，可知c＞0，故abc＜0，错误；
②当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，a+c＜b，错误；
③当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，正确；
④对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1，∴a=-$\frac{b}{2}$，∵a-b+c＜0，∴-$\frac{b}{2}$-b+c＜0，∴2c＜3b，正确；
⑤∵当x=1时有最大值y=a+b+c，∴a+b+c＞am²+bm+c，∴a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），正确；
⑥对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1，∴b=-2a，∴2a+b=0，正确；
⑦抛物线与x轴有两个交点，∴b²-4ac＞0，错误；
⑧∵x=1时，y=a+b+c＞0，x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴（a+b+c）（a-b+c）＜0，
即[（a+c）+b][（a+c）-b]=（a+c）²-b²＜0，
∴（a+c）²＜b²，正确．
综上可得：③④⑤⑥⑧正确．
故答案为③④⑤⑥⑧．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．