Question

15．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）仔细观察，在图2中有3个以线段AC为边的“8字形”；
（2）在图2中，若∠B=96°，∠C=100°，求∠P的度数．
（3）在图2中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=$\frac{1}{3}$∠CAB，∠CDP=$\frac{1}{3}$∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），并说明理由；
（4）如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为360°．

Answer 1

分析 （1）以M为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有2个；
（2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），然后把∠C=100°，∠B=96°代入计算即可；
（3）与（2）的证明方法一样得到∠P=$\frac{1}{3}$（2∠C+∠B）．
（4）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，再根据四边形内角和为360°可得答案．

解答 解：（1）在图2中有3个以线段AC为边的“8字形”，
故答案为3；

（2）∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，
∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C-∠P=∠P-∠B，
即∠P=$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），
∵∠C=100°，∠B=96°
∴∠P=$\frac{1}{2}$（100°+96°）=98°；

（3）∠P=$\frac{1}{3}$（β+2α）；
理由：∵∠CAP=$\frac{1}{3}$∠CAB，∠CDP=$\frac{1}{3}$∠CDB，
∴∠BAP=$\frac{2}{3}$∠BAC，∠BDP=$\frac{2}{3}$∠BDC，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C-∠P=$\frac{1}{3}$∠BDC-$\frac{1}{3}$∠BAC，∠P-∠B=$\frac{2}{3}$∠BDC-$\frac{2}{3}$∠BAC，
∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，
∴∠P=$\frac{1}{3}$（∠B+2∠C），
∵∠C=α，∠B=β，
∴∠P=$\frac{1}{3}$（β+2α）；

（4）∵∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2，
∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：360°．

点评 本题考查了三角形内角与外角的关系，以及多边形内角和．也考查了角平分线的定义，关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．