Question

18．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，它的中心与坐标原点O重合，对角线BE在x轴上，若抛物线y=ax²+bx+c（a＞0，b＞0）经过正六边形的三个顶点，则该抛物线的解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\sqrt{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 连接OC，过点C作CH⊥x轴，垂足为H，易知CG=OH=1，在Rt△COH中，由正六边形的性质可得∠COH=60°，通过解直角三角形即可求得CH的长，也就得到了C点的坐标；同理可求得B、F的坐标，根据题意抛物线y=ax²+bx+c（a＞0，b＞0）经过正六边形的B、C、F三个顶点，然后用待定系数法即可求得该抛物线的解析式．

解答 解：设CD与y轴交于点G，连接OC，过点C作CH⊥x轴，垂足为H；
由已知CD=2，得CG=1，CH=$\sqrt{3}$，∠COH=60°（正六边形的性质），
∴C（-1，-$\sqrt{3}$）；
同理F（1，$\sqrt{3}$），B（-2，0）；
∵抛物线y=ax²+bx+c（a＞0，b＞0）经过正六边形的三个顶点，
∴抛物线y=ax²+bx+c（a＞0，b＞0）经过正六边形的B、C、F三个顶点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=-\sqrt{3}}\\{a+b+c=\sqrt{3}}\\{4a-2b+c=0}\end{array}\right.$，
解此方程组，得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\\{c=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$；
因此所求二次函数解析式是y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\sqrt{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\sqrt{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题主要考查了正六边形的性质及二次函数解析式的确定等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．