Question

【题目】如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，连接CF．

（1）求证：CF＝BF；

（2）求证：CF是⊙O的切线；

（3）若FB＝FE＝3，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6．

【解析】

（1）连接OC，BC，证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF＝DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF＝DF＝BF即可；

（2）证明∠FCB＝∠CAB即可推出CF是⊙O的切线；

（3）分别延长CF和AB交于点G，∠G＝∠FAG，推出AF＝FG，求出AB＝BG，由切割线定理得出（3+FG）2＝BG×AG＝2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝FG2﹣BF2推出FG2﹣6FG﹣27＝0，求出FG即可，再在Rt△ABF中利用勾股定理即可解决问题．

（1）证明：连接OC，BC，

∵BD切⊙O于B，CH⊥AB，

∴∠CHA＝∠DBA＝90°，

∴CH∥BD，

∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，

∴，，

∴，

又∵CE＝EH（E为CH中点），

∴BF＝DF，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠DCB＝90°，

∵BF＝DF，

∴CF＝DF＝BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

即CF＝BF；

（2）证明：∵BF切⊙O于B，

∴∠DBA＝90°，

∴∠DBC+∠CBA＝90°，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝∠BCD＝90°，

∴∠FBC＝∠CAB，

∵OC＝OA，CF＝BF，

∴∠FCB＝∠FBC，∠OCA＝∠OAC，

∴∠FCB＝∠CAB，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACO+∠BCO＝90°，

∴∠FCB+∠BCO＝90°，

即OC⊥CF，

∴CF是⊙O切线；

（3）解：分别延长CF和AB交于点G，

∵BF＝CF＝DF（已证），FE＝FB＝3，

∴EF＝FC＝3，

∴∠FCE＝∠FEC，

∵∠AHE＝∠CHB＝90°，

∴∠FAH+∠AEH＝90°，∠G+∠GCH＝90°，

∵∠AEH＝∠CEF，

∴∠G＝∠FAG，

∴AF＝FG，

∵FB⊥AG，

∴AB＝BG，

∵GBA是⊙O割线，AB＝BG，FB＝FE＝3，

∴由切割线定理得：（3+FG）2＝BG×AG＝2BG2，

在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝FG2﹣BF2，

∴FG2﹣6FG﹣27＝0，

解得：FG＝9或FG＝﹣3（舍去），

∴AB＝，

故答案为：．