Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D为BC上一点，点E为△ABC外一点，CE⊥AD，垂足为H，EB⊥BC，BF＝EF，∠ADB+∠BDF＝135°，则FD的长为_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

如图，取BC的中点O，连接OA，OF，在BO上取点G，使得BG=BF，则△BFG是等腰直角三角形．证明△AOD≌△OBF（ASA），推出OD＝BF，设EF＝BF＝OD＝a，则BG＝a，FG＝a，OG＝2﹣a，DG＝2﹣2a，再证明△FGO∽△DGF，推出＝，由此构建方程求出a即可解决问题．

解：如图，取BC的中点O，连接OA，OF，在BO上取点G，使得BG=BF，则△BFG是等腰直角三角形．

∵AB＝BC，∠BAC＝90°，AO平分BC，

∴AO⊥BC，AO＝BO＝OC，

∴∠DAO+∠ADO＝90°，

∵CH⊥AD，

∴∠DCH+∠ADO＝90°，

∴∠DAO＝∠DCH，

∵BO＝OC，BF＝EF，

∴OF∥CE，

∴∠FOB＝∠DCH＝∠DAO，

∴△AOD≌△OBF（ASA），

∴OD＝BF，

设EF＝BF＝OD＝a，则BG＝a，FG＝a，OG＝2﹣a，DG＝2﹣2a，

∵∠ADB+∠BAD＝180°﹣∠ABD＝135°，且∠ADB+∠BDF＝135°，

∴∠BDF＝∠BAD，

∵∠DAO+∠BAD＝45°，∠BDF+∠GFD＝∠FGB＝45°，

∴∠DAO＝∠GFD，

∵∠FOB＝∠DAO，

∴∠FOB＝∠GFD，

∴△FGO∽△DGF，

∴＝，

∴＝，

解得a＝，

∴BD＝2﹣a＝，

∴DF＝＝＝．

故答案为．