Question

【题目】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段OA为边作等边三角形，使点B落在第四象限内，点C为x正半轴上一动点，连接BC，以线段BC为边作等边三角形，使点D落在第四象限内.

（1）如图1，在点C运动的过程巾，连接AD.

①和全等吗？请说明理由：

②延长DA交y轴于点E，若，求点C的坐标：

（2）如图2，已知，当点C从点O运动到点M时，点D所走过的路径的长度为_________

Answer 1

【答案】（1）①全等，见解析；②点C（6，0）；（2）6．

【解析】

（1）①先根据等边三角形的性质得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，则∠OBC=∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
②由全等三角形的性质可得∠BAD=∠BOC=∠OAB=60°，可得∠EAO=60°，可求AE=2OA=4，即可求点C坐标；
（2）由题意可得点E是定点，点D在AE上移动，点D所走过的路径的长度=OC=6．

解：（1）①△OBC和△ABD全等，
理由是：
∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，
∴∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，

∴△OBC≌△ABD（SAS）；
②∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，AE=2OA=4
∴OC=OA+AC=6
∴点C（6，0）；
（2）∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，AD=OC，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴AE=2OA=4，OE=2

∴点E（0，2）
∴点E不会随点C位置的变化而变化
∴点D在直线AE上移动
∵当点C从点O运动到点M时，
∴点D所走过的路径为长度为AD=OC=6．
故答案为：（1）①全等，见解析；②点C（6，0）；（2）6．