Question

6．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=10，AB=CD，BD=12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C，作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．
（1）试证明：AD∥BC；
（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间和G点的移动距离；
（3）爱动脑筋的小明把BD=12改为BD=8，其他都不变，发现仍有△DEG与△BFG全等的情况出现，这样的情况会出现4次，此时的移动时间分别为2.5秒、1秒、5秒，、4.5秒．

Answer 1

分析 （1）由AD=BC=8，AB=CD，BD为公共边，所以可证得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB=∠CBD，所以AD∥BC；
（2）设G点的移动距离为y，分两种情况，一种F由C到B，一种F由B到C，再结合△DEG≌△BFG可得到DE=BF，DG=BG，或DE=BG，DG=BF可得到方程，解出时间t和y的值即可；
（3）同（2）即可得出结果．

解答 （1）证明：∵AD=BC=10，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC；
（2）解：设G点的移动距离为y，
当△DEG与△BFG时有：∠EDG=∠FBG，
∴DE=BF，DG=BG，或DE=BG，DG=BF，
当F由C到B，即0＜t≤$\frac{10}{3}$时，
则有$\left\{\begin{array}{l}{t=10-3t}\\{y=12-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=2.5}\\{y=6}\end{array}\right.$；
或$\left\{\begin{array}{l}{t=y}\\{10-3t=12-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$（舍去）；
当F由B到C，即$\frac{10}{3}$＜t≤$\frac{20}{3}$时，
有$\left\{\begin{array}{l}{t=3t-10}\\{y=12-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=5}\\{y=6}\end{array}\right.$；
或$\left\{\begin{array}{l}{t=y}\\{3t-10=12-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=5.5}\\{y=5.5}\end{array}\right.$；
综上可知共有3次，移动的时间分别为2.5秒、5秒、5.5秒，移动的距离分别为6、6、5.5．
（3）解：设G点的移动距离为y，
当△DEG与△BFG时有：∠EDG=∠FBG，
∴DE=BF，DG=BG，或DE=BG，DG=BF，
当F由C到B，即0＜t≤$\frac{10}{3}$时，
则有$\left\{\begin{array}{l}{t=3t-10}\\{y=8-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=2.5}\\{y=4}\end{array}\right.$；
或$\left\{\begin{array}{l}{t=y}\\{10-3t=8-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=1}\\{y=1}\end{array}\right.$；
当F由B到C，即$\frac{10}{3}$＜t≤$\frac{20}{3}$时，
有$\left\{\begin{array}{l}{t=3t-10}\\{y=8-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=5}\\{y=4}\end{array}\right.$；
或$\left\{\begin{array}{l}{t=y}\\{3t-10=8-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=4.5}\\{y=4.5}\end{array}\right.$．
综上可知共有4次，移动的时间分别为2.5秒、1秒、5秒，、4.5秒；
故答案为：4，2.5秒、1秒、5秒，、4.5秒

点评 本题主要考查平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、类比思想方法解方程组等知识；第（2）题解题的关键是利用好三角形全等，从而得到方程解得．