【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC为半径作⊙B,交AB于点D,交AB的延长线于点E,连接CD、CE.
(1)求证:△ACD∽△AEC;
(2)当 = 时,求tanE;
(3)若AD=4,AC=4 ,求△ACE的面积.
【答案】
(1)证明:∵DE为直径,
∴∠DCE=90°,即∠2+∠DCB=90°,
∵∠ACB=90°,即∠1+∠DCB=90°,
∴∠1=∠2,
而∠CAD=∠EAC,
∴△ACD∽△AEC
(2)解:由 = ,设AC=4k,则BC=3k,
∴BD=BE=3k,
∴AB= =5k,
∴AE=AB+BE=5k+3k=8k,
在Rt△CDE中,tanE= ,
∵△ACD∽△AEC,
∴ = = = ,
∴tanE=
(3)作CH⊥AE于H,如图,
∵△ACD∽△AEC,
∴ = = ,即 = = ,解得AE=12,CE= CD,
∴DE=AE﹣AC=8,
在Rt△CDE中,∵tanE= = = ,
∴∠E=30°,
∴CD= DE=4,CE=4 ,
在Rt△CHE中,CH= CE=2 ,
∴△ACE的面积= ×12×2 =12 .
【解析】(1)利用圆周角定理得到∠DCE=90°,而∠ACB=90°,则∠1=∠2,加上公共角,则可判断△ACD∽△AEC;(2)利用由 = 设AC=4k,BC=3k,由勾股定理计算出AB=5k,则AE=8k,再由△ACD∽△AEC,利用相似比得到 = = ,然后根据正切的定义可得tanE的值;(3)作CH⊥AE于H,如图,由△ACD∽△AEC,利用相似比得到AE=12,CE= CD,则DE=AE﹣AC=8,在Rt△CDE中利用三角函数和特殊角的三角形函数值得到∠E=30°,则可计算出CD= DE=4,CE=4 ,接着计算出CH,然后根据三角形面积公式求解.
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【题目】某宾馆有客房50间,当每间客房每天的定价为220元时,客房会全部住满;当每间客房每天的定价增加10元时,就会有一间客房空闲,设每间客房每天的定价增加x元时,客房入住数为y间.
(1)求y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(2)如果每间客房入住后每天的各种支出为40元,不考虑其他因素,则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大?
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【题目】如图,已知△EFG≌△NMH, ∠F与∠M是对应角.
(1)写出相等的线段与相等的角;
(2)若EF=2.1cm,FH=1.1cm,HM=3.3cm,求MN和HG的长度.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,且抛物线经过A(﹣1,0),C(0,﹣5)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)设点P为抛物线上的一个动点,连接PB、PC,若△BPC是以BC为直角边的直角三角形,求此时点P的坐标;
(3)在抛物线上BC段有另一个动点Q,以点Q为圆心作⊙Q,使得⊙Q与直线BC相切,在运动的过程中是否存在一个最大⊙Q?若存在,请直接写出最大⊙Q的半径;若不存在,请说明理由.
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【题目】问题情境:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°∠BAC=30°.
动手操作:(1)若以直角边AC所在的直线为对称轴.将Rt△ABC作轴对称变换,请你在原图上作出它的对称图形:
观察发现:(2)Rt△ABC和它的对称图形组成了什么图形?你最准确的判断是 .
合作交流:(3)根据上面的图形,请你猜想直角边BC与斜边AB的数量关系,并证明你的猜想.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°,∠ADC=150°,四边形ABCD的周长为32.
(1)求∠BDC的度数;
(2)四边形ABCD的面积.
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