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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC为半径作⊙B,交AB于点D,交AB的延长线于点E,连接CD、CE.
(1)求证:△ACD∽△AEC;
(2)当 = 时,求tanE;
(3)若AD=4,AC=4 ,求△ACE的面积.

【答案】
(1)证明:∵DE为直径,

∴∠DCE=90°,即∠2+∠DCB=90°,

∵∠ACB=90°,即∠1+∠DCB=90°,

∴∠1=∠2,

而∠CAD=∠EAC,

∴△ACD∽△AEC


(2)解:由 = ,设AC=4k,则BC=3k,

∴BD=BE=3k,

∴AB= =5k,

∴AE=AB+BE=5k+3k=8k,

在Rt△CDE中,tanE=

∵△ACD∽△AEC,

= = =

∴tanE=


(3)作CH⊥AE于H,如图,

∵△ACD∽△AEC,

= = ,即 = = ,解得AE=12,CE= CD,

∴DE=AE﹣AC=8,

在Rt△CDE中,∵tanE= = =

∴∠E=30°,

∴CD= DE=4,CE=4

在Rt△CHE中,CH= CE=2

∴△ACE的面积= ×12×2 =12


【解析】(1)利用圆周角定理得到∠DCE=90°,而∠ACB=90°,则∠1=∠2,加上公共角,则可判断△ACD∽△AEC;(2)利用由 = 设AC=4k,BC=3k,由勾股定理计算出AB=5k,则AE=8k,再由△ACD∽△AEC,利用相似比得到 = = ,然后根据正切的定义可得tanE的值;(3)作CH⊥AE于H,如图,由△ACD∽△AEC,利用相似比得到AE=12,CE= CD,则DE=AE﹣AC=8,在Rt△CDE中利用三角函数和特殊角的三角形函数值得到∠E=30°,则可计算出CD= DE=4,CE=4 ,接着计算出CH,然后根据三角形面积公式求解.

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