【题目】已知抛物线C1:y=ax2+bx+(a≠0)经过点A(-1,0)和B(3,0).
(1)求抛物线C1的解析式,并写出其顶点C的坐标;
(2)如图1,把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2,此时点A,C分别平移到点D,E处.设点F在抛物线C1上且在x轴的下方,若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形,求点F的坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,设点M是线段BC上一动点,EN⊥EM交直线BF于点N,点P为线段MN的中点,当点M从点B向点C运动时:
①tan∠ENM的值如何变化?请说明理由;
②点M到达点C时,直接写出点P经过的路线长.
【答案】(1),顶点C(1,2);(2)F(﹣3,﹣6);(3)①tan∠ENM=2,是定值,不发生变化;②.
【解析】试题分析:(1)根据待定系数法即可求得解析式,把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标;
(2)根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为y=x+1,根据题意求得EF=4,求得EF∥y轴,设F(m,-m2+m+),则E(m,m+1),从而得出(m+1)-(-m2+m+)=4,解方程即可求得F的坐标;
(3)①先求得四边形DFBC是矩形,作EG⊥AC,交BF于G,然后根据△EGN∽△EMC,对应边成比例即可求得tan∠ENM==2;
②根据勾股定理和三角形相似求得EN=,然后根据三角形中位线定理即可求得.
试题解析:(1)∵抛物线C1:y=ax2+bx+(a≠0)经过点A(-1,0)和B(3,0),
∴解得,
∴抛物线C1的解析式为y=-x2+x+,
∵y=-x2+x+=-(x-1)2+2,
∴顶点C的坐标为(1,2);
(2)如图1,作CH⊥x轴于H,
∵A(-1,0),C(1,2),
∴AH=CH=2,
∴∠CAB=∠ACH=45°,
∴直线AC的解析式为y=x+1,
∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形,
∴∠DEF=45°,
∴∠DEF=∠ACH,
∴EF∥y轴,
∵DE=AC=2,
∴EF=4,
设F(m,-m2+m+),则E(m,m+1),
∴(m+1)-(-m2+m+)=4,
解得m=3(舍)或m=-3,
∴F(-3,-6);
(3)①tan∠ENM的值为定值,不发生变化;
如图2,
∵DF⊥AC,BC⊥AC,
∴DF∥BC,
∵DF=BC=AC,
∴四边形DFBC是矩形,
作EG⊥AC,交BF于G,
∴EG=BC=AC=2,
∵EN⊥EM,
∴∠MEN=90°,
∵∠CEG=90°,
∴∠CEM=∠NEG,
∴△ENG∽△EMC,
∴,
∵F(-3,-6),EF=4,
∴E(-3,-2),
∵C(1,2),
∴EC==4,
∴=2,
∴tan∠ENM==2;
∵tan∠ENM的值为定值,不发生变化;
②点P经过的路径是线段P1P2,如图3,
∵四边形BCEG是矩形,GP2=CP2,
∴EP2=BP2,
∵△EGN∽△ECB,
∴,
∵EC=4,EG=BC=2,
∴EB=2,
∴,
∴EN=,
∵P1P2是△BEN的中位线,
∴P1P2=EN=;
∴点M到达点C时,点P经过的路线长为.
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【题目】先阅读下面的材料,再回答后面的问题:
计算:10÷(-+).
解法一:原式=10÷-10÷+10÷=10×2-10×3+10×6=50;
解法二:原式=10÷(-+)=10÷=10×3=30;
解法三:原式的倒数为(-+)÷10
=(-+)×=×-×+×=
故原式=30.
(1)上面得到的结果不同,肯定有错误的解法,你认为解法 是错误的。
(2)请选择一种上述的正确方法解决下面的问题:
计算:()÷().
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【题目】请你从下列条件:①AB=CD,②AD=BC,③AB∥CD,④AD∥BC中任选两个,使它们能判定四边形ABCD是平行四边形.共有________种情况符合要求.
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【题目】若(1﹣x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9 , 则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a9|=( )
A.1
B.513
C.512
D.511
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【题目】某地为了鼓励城区居民节约用水,实行阶梯计价.规定用水收费标准如下:①每户每月的用水量不超过吨时,水费为元/吨时,不超过部分元/吨,超过部分为元/吨.②收取污水处理费元/吨.
()若用户四月份用水吨,应缴水费__________元.
()若用户五月份用水吨,缴水费,求的值.
()在()的条件下,若用户某月共缴水费元,求该用户该月用水量.
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【题目】将代数式4a2b+3ab2﹣2b2+a3按a的升幂排列的是( )
A.﹣2b3+3ab2+4a2b+a3
B.a3+4a2b+3ab2﹣2b3
C.4a2b+3ab2﹣2b3+a3
D.4a2b+3ab2+a3﹣2b3
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【题目】在数轴上,一只蚂蚁从原点出发,先向右爬行了4个单位长度到达点A,再向右爬行了2个单位长度到达点B,然后又向左爬行了10个单位长度到达点C.
(1)画出数轴,并在数轴上表示出A、B、C三点;
(2)根据点C在数轴上的位置,点C可以看作是蚂蚁从原点出发,向哪个方向爬行了几个单位长度得到的?
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