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【题目】已知抛物线C1y=ax2+bx+a≠0)经过点A-10)和B30).

1)求抛物线C1的解析式,并写出其顶点C的坐标;

2)如图1,把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2,此时点AC分别平移到点DE处.设点F在抛物线C1上且在x轴的下方,若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形,求点F的坐标;

3)如图2,在(2)的条件下,设点M是线段BC上一动点,EN⊥EM交直线BF于点N,点P为线段MN的中点,当点M从点B向点C运动时:

①tan∠ENM的值如何变化?请说明理由;

M到达点C时,直接写出点P经过的路线长.

【答案】(1,顶点C12);(2F﹣3﹣6);(3tanENM=2,是定值,不发生变化;

【解析】试题分析:(1)根据待定系数法即可求得解析式,把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标;

2)根据AC的坐标求得直线AC的解析式为y=x+1,根据题意求得EF=4,求得EFy轴,设Fm-m2+m+),则Emm+1),从而得出(m+1--m2+m+=4,解方程即可求得F的坐标;

3先求得四边形DFBC是矩形,作EGAC,交BFG,然后根据EGN∽△EMC,对应边成比例即可求得tanENM==2

根据勾股定理和三角形相似求得EN=,然后根据三角形中位线定理即可求得.

试题解析:(1抛物线C1y=ax2+bx+a≠0)经过点A-10)和B30),

解得

抛物线C1的解析式为y=-x2+x+

y=-x2+x+=-x-12+2

顶点C的坐标为(12);

2)如图1,作CH⊥x轴于H

∵A-10),C12),

∴AH=CH=2

∴∠CAB=∠ACH=45°

直线AC的解析式为y=x+1

∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形,

∴∠DEF=45°

∴∠DEF=∠ACH

∴EF∥y轴,

DE=AC=2

∴EF=4

Fm-m2+m+),则Emm+1),

m+1--m2+m+=4

解得m=3(舍)或m=-3

∴F-3-6);

3①tan∠ENM的值为定值,不发生变化;

如图2

∵DF⊥ACBC⊥AC

∴DF∥BC

∵DF=BC=AC

四边形DFBC是矩形,

EG⊥AC,交BFG

EG=BC=AC=2

∵EN⊥EM

∴∠MEN=90°

∵∠CEG=90°

∴∠CEM=∠NEG

∴△ENG∽△EMC

∵F-3-6),EF=4

∴E-3-2),

∵C12),

EC==4

=2

tanENM==2

∵tan∠ENM的值为定值,不发生变化;

P经过的路径是线段P1P2,如图3

四边形BCEG是矩形,GP2=CP2

∴EP2=BP2

∵△EGN∽△ECB

EC=4EG=BC=2

EB=2

EN=

∵P1P2△BEN的中位线,

P1P2=EN=

M到达点C时,点P经过的路线长为

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