【题目】如图,△ABC在平面直角坐标系中,三个顶点坐标分别为A(0,3)、B(3、4)、C(2,2)(网格中每个正方形的边长是1个单位长度).
(1)以点B为位似中心,在网格内画出△A′BC′,使△A′BC′与△ABC位似,且位似比为2:1,则点C′的坐标是______;
(2)△A′BC′的面积是_______平方单位;
(3)在x轴上找出点P,使得点P到B与点A距离之和最小,请直接写出P点的坐标.
【答案】(1)(1,0);(2)10;(3)(,0).
【解析】
(1)利用位似图形的性质得出对应点位置,即可得出答案;(2)利用勾股定理逆定理可得△A′BC′是直角三角形,利用三角形面积公式求出△A′BC′面积即可;(3)作A关于y轴的对称点A″,连接A″B,交x轴于点P,根据对称性质可得A″B即为PA+PB的最小值,根据A″和B点坐标可得直线A″B的解析式,令y=0即可得P点坐标.
(1)如图所示:C′(1,0);
故答案为:(1,0);
(2)∵A′B2=62+22=40,A′C′2=42+22=20,C′B2=42+22=20,
∴A′B2=A′C′2+C′B2,
∴△A′BC′是直角三角形,
∴△A′BC′的面积是:×2×2=10平方单位;
故答案为:10
(3)作A关于y轴的对称点A″,连接A″B,交x轴于点P,
∴PA=PA″,
∴PA″+PB=PA+PB=BA″,即为PA+PB的最小值,
设A″B直线解析式为:y=kx+b,
把(3,4),(0,﹣3),代入得:,
解得:,
故A″B直线解析式为:y=x﹣3,
当y=0时,x=,
故P(,0).
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【题目】某校九年级某班学生准备去购买《英汉词典》一书,此书的标价为20元.现A、B两书店都有此书出售,A店按如下方法促销:若只购买1本,则按标价销售;当一次性购买多于1本,但不多于20本时,每多购买一本,每本的售价在标价的基础上优惠2%(例如,买2本每本的售价优惠2%,买3本每本的售价优惠4%,依此类推);当购买多于20本时,每本的售价为12元.B书店一律按标价的7折销售.
(1)试分别写出在两书店购买此书的总价yA、yB与购书本数之间的函数关系式.
(2)若该班一次购买多于20本,去哪家书店购买更合算?为什么?若要一次性购买不多于20本,先写出y(y=yA﹣yB)与购书本数x之间的函数关系式,画出其函数图象,再利用函数图象分析去哪家书店购买更合算.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E,DF与线段AC相交于点F.
(1)如图1,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长;
(2)如图2,将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.
求证:BE+CF=AB.
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【题目】已知二次函数y=-x2+2x+3.
(1)求函数图像的顶点坐标,并画出这个函数的图像;
(2)根据图像,直接写出:
①当函数值y为正数时,自变量x的取值范围;
②当-2<x<2时,函数值y的取值范围;
③若经过点(0,k)且与x轴平行的直线l与y=-x2+2x+3的图像有公共点,求k的取值范围.
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【题目】如图,点O为正方形ABCD的中心,AD=1,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使BD=BF,连结DF交BE的延长线于点H,连结OH交DC于点G,连结HC.则以下四个结论中:OH∥BF;②OG:GH=2:1;③GH=;④∠CHF=2∠EBC;⑤CH2=HEHB.正确结论的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】(阅读资料)
同学们,我们学过用配方法解一元二次方程,也可用配方法求代数式的最值.
(1)求4x2+16x+19的最小值.
解:4x2+16x+19=4x2+16x+16+3=4(x+2)2+3
因(x+2)2大于等于0,所以4x2+16x+19大于等于3,即4x2+16x+19的最小值是3.此时,x=﹣2
(2)求﹣m2﹣m+2的最大值
解:﹣m2﹣m+2=﹣(m2+m)+2=﹣
因大于等于0,所以﹣小于等于0,所以﹣
小于等于,即﹣m2﹣m+2的最大值是,此时,m=﹣.
(探索发现)
如图①,是一张直角三角形纸片,∠B=90°,AB=8,BC=6,小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形,经过多次操作发现,当沿着中位线DE、EF剪下时,所得的矩形的面积最大.下面给出了未写完的证明,请你阅读下面的证明并写出余下的证明部分,并求出矩形的最大面积与原三角形面积的比值.
解:在AC上任取点E,作ED⊥BC,EF⊥AB,得到矩形BDEF.设EF=x
易证△AEF∽△ACB,则,,,…
请你写出剩余部分
(拓展应用)
如图②,在△ABC中,BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上,顶点Q、M在边BC上,则矩形PQMN面积的最大值为 .(用含a,h的代数式表示)
(灵活应用)
如图③,有一块“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角),该矩形的面积为 .(直接写出答案)
(实际应用)
如图④,现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=70cm,BC=108cm,CD=76cm,且∠B=∠C=60°,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,该矩形的面积为 .(直接写出答案)
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【题目】(1)如图1,E是正方形ABCD边AB上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.
①线段DB和DG的数量关系是 ;
②写出线段BE,BF和DB之间的数量关系.
(2)当四边形ABCD为菱形,∠ADC=60°,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.
①如图2,点E在线段AB上时,请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系,写出结论并给出证明;
②如图3,点E在线段AB的延长线上时,DE交射线BC于点M,若BE=1,AB=2,直接写出线段GM的长度.
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【题目】如图,在ABCD中,AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,连接BE并延长交AD于点F,已知S△AEF=4,则下列结论:①=;②△AEF∽△ACD;③S△BCE=36;④S△ABE=12.其中一定正确的是_____(填序号)
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