【题目】如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,A、C、D三点在同一直线上,连接BD、AE,并延长AE交BD于F.
(1)求证:AE=BD;
(2)试判断直线AE与BD的位置关系,并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析;(2)互相垂直,证明见解析.
【解析】
(1)根据SAS判定△ACE≌△BCD,从而得到AE=BD;
(2)互相垂直,只要证明∠AFD=90°,从而转化为证明∠EAC+∠CDB=90°即可.
(1)证明:∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,CE=CD,∠ACE=∠BCD=90°,
在△ACE和△BCD,
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴AE=BD;
(2)答:直线AE与BD互相垂直,理由为:
证明:∵△ACE≌△BCD,
∴∠EAC=∠DBC,
又∵∠DBC+∠CDB=90°,
∴∠EAC+∠CDB=90°,
∴∠AFD=90°,
∴AF⊥BD,
即直线AE与BD互相垂直.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AC⊥CD,将线段AD绕点D按逆时针方向旋转,旋转后交AC于点E,交BC于点F.
(1)若∠CAD=30°,线段AD绕点D按逆时针方向旋转45°,且CE=1,求AD;
(2)若∠CAD=45°,线段AD绕点D按逆时针方向旋转30°,点M是线段DF上任意一点(M不与D重合),连接CM,将线段CM绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CN,连接AN交射线DE于点P,点G、H分别是AD、DE的中点,求证:CD=CE+2CP.
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【题目】某农场去年种植了10亩地的南瓜,亩产量为2000kg,根据市场需要,今年该农场扩大了种植面积,并且全部种植了高产的新品种南瓜,设南瓜种植面积的增长率为x.
(1)则今年南瓜的种植面积为 亩;(用含x的代数式表示)
(2)如果今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的,今年南瓜的总产量为60000kg,求南瓜亩产量的增长率.
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【题目】小明参加某个智力竞答节目,答对最后两道单选题就顺利通关.第一道单选题有3个选项,第二道单选题有4个选项,这两道题小明都不会,不过小明还有一个“求助”没有用(使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项).
(1)如果小明第一题不使用“求助”,那么小明答对第一道题的概率是 .
(2)如果小明将“求助”留在第二题使用,请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率.
(3)从概率的角度分析,你建议小明在第几题使用“求助”.(直接写出答案)
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【题目】如图所示,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是( )
A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去
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【题目】如图,直线MN经过正方形ABCD的顶点D且不与正方形的任何一边相交,AM⊥MN于M,CN⊥MN于N,BR⊥MN于R。
(1)求证:△ADM≌△DCN
(2)求证:MN=AM+CN
(3)试猜想BR与MN的数量关系,并证明你的猜想
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【题目】如图1,,平分,以为顶点作,交于点,于点E.
(1)求证:;
(2)图1中,若,求的长;
(3)如图2,,平分,以为顶点作,交于点,于点.若,求四边形的面积.
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【题目】如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C、A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设P点移动的时间为t秒(0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】A,B两地相距l 100米,甲从A地出发,乙从B地出发,相向而行,甲比乙先出发2分钟,乙出发7分钟后与甲相遇,设甲、乙两人相距y米,甲行进的时间为t分钟,y与t之间的函数关系如图所示.请你结合图象探究:
(1)甲的行进速度为每分钟__________米,m =____分钟;
(2)求直线PQ对应的函数表达式;
(3)求乙的行进速度.
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