Question

【题目】如图，直线MN经过正方形ABCD的顶点D且不与正方形的任何一边相交，AM⊥MN于M，CN⊥MN于N，BR⊥MN于R。

(1)求证：△ADM≌△DCN

(2)求证：MN=AM+CN

(3)试猜想BR与MN的数量关系，并证明你的猜想

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BR=MN；证明见解析.

【解析】

（1）要证△ADM≌△DCN，由于它们都是直角三角形，所以首先有直角相等，又由ABCD是正方形有AD=DC，再找一个条件即可，而由图形很容易分析得出∠ADM=∠DCN；

（2）由△AMD≌△DNC得到AM=DN，MD=NC，通过等量代换等到结论；

（3）作AE⊥BR于E，根据题意证明△ABE≌△DCN，然后再结合△ADM≌△DCN得到△ABE≌△ADM，细致证明通过等量代换等到结论即可．

证明：（1）∵AM⊥MN于点M，CN⊥MN于点N（已知），

∴∠AMD=∠DNC=90°（垂直的定义）．

∴∠MAD+∠MDA=180°-90°=90°（三角形内角和定理）．

∵四边形ABCD是正方形（已知），

∴∠ADC=90°，AD=DC．

∴∠MDA+∠NDC=180°-90°=90°（平角的定义）．
∴∠MAD+∠MDA=∠NDC+∠NCD．

∴∠MAD=∠NDC．

在△AMB和△DNC中，

∵∠AMD=∠DNC，∠MAD=∠NDC，AD=DC，

∴△AMD≌△DNC（AAS）．

（2）由（1）△AMD≌△DNC，

∴AM=DN，MD=NC．（全等三角形对应边相等）

∴MD+DN=AM+CN．

即MN=AM+CN．

（3）猜想BR=MN．

证明如下：

作AE⊥BR于E．

∵BR⊥MN，CN⊥MN（已知）

∴BR∥CN（垂直于同一直线的两条直线平行）

∴∠1=∠2（两直线平行同位角相等）

又四边形ABCD是正方形

∴AB⊥BC，DC⊥BC，

∴∠ABE=∠DCN=90°-∠1，

在△ABE和△DCN中，AB=DC，∠ABE=∠DCN，∠AEB=∠DNC=90°

∴△ABE≌△DCN（AAS）

由（1）△ADM≌△DCN

∴△ABE≌△ADM

∴AM=AE（全等三角形对应边相等）．

又AE∥MR，AM∥ER，

∴四边形AERM是平行四边形

∴BR=BE+ER=CN+AM=DM+DN=MN．