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【题目】如图,直线MN经过正方形ABCD的顶点D且不与正方形的任何一边相交,AMMNMCNMNNBRMNR

(1)求证:ADM≌△DCN

(2)求证:MN=AM+CN

(3)试猜想BRMN的数量关系,并证明你的猜想

【答案】1)证明见解析;(2)证明见解析;(3BR=MN;证明见解析.

【解析】

1)要证ADM≌△DCN,由于它们都是直角三角形,所以首先有直角相等,又由ABCD是正方形有AD=DC,再找一个条件即可,而由图形很容易分析得出∠ADM=DCN

2)由AMD≌△DNC得到AM=DNMD=NC,通过等量代换等到结论;

3)作AEBRE,根据题意证明△ABE≌△DCN,然后再结合ADM≌△DCN得到△ABE≌△ADM,细致证明通过等量代换等到结论即可.

证明:(1)∵AMMN于点MCNMN于点N(已知),

∴∠AMD=DNC=90°(垂直的定义).

∴∠MAD+MDA=180°-90°=90°(三角形内角和定理).

∵四边形ABCD是正方形(已知),

∴∠ADC=90°AD=DC

∴∠MDA+NDC=180°-90°=90°(平角的定义).
∴∠MAD+MDA=NDC+NCD

∴∠MAD=NDC

AMBDNC中,

∵∠AMD=DNC,∠MAD=NDCAD=DC

∴△AMD≌△DNCAAS).

2)由(1AMD≌△DNC

AM=DNMD=NC.(全等三角形对应边相等)

MD+DN=AM+CN

MN=AM+CN

3)猜想BR=MN

证明如下:

AEBRE

BRMNCNMN(已知)

BRCN(垂直于同一直线的两条直线平行)

∴∠1=2(两直线平行同位角相等)

又四边形ABCD是正方形

ABBCDCBC

∴∠ABE=DCN=90°-1

ABEDCN中,AB=DC,∠ABE=DCN,∠AEB=DNC=90°

∴△ABE≌△DCNAAS

由(1ADM≌△DCN

∴△ABE≌△ADM

AM=AE(全等三角形对应边相等).

AEMRAMER

∴四边形AERM是平行四边形

BR=BE+ER=CN+AM=DM+DN=MN

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