Question

【题目】如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP，正确的是___（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①②③．

【解析】

①解法一：如图1，作辅助线，构建三角形全等和平行四边形，证明，得BG=PE，再证明四边形ABGP是平行四边形，可得结论；
解法二：如图2，连接AE，利用四点共圆证明△APE是等腰直角三角形，可得结论；
②如图3，作辅助线，证明四边形DCGP是平行四边形，可得结论；
③证明四边形OCGF是矩形，可作判断；
④证明，则，可作判断．

①解法一：如图1，在EF上取一点G，使FG＝FP，连接BG、PG，

∵EF⊥BP，

∴∠BFE＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠FBC＝∠ABD＝45°，

∴BF＝EF，

在△BFG和△EFP中，

∵ ，

∴△BFG≌△EFP（SAS），

∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，

∵∠ABD＝∠FPG＝45°，

∴AB∥PG，

∵AP⊥PE，

∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，

∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，

∴AP∥BG，

∴四边形ABGP是平行四边形，

∴AP＝BG，

∴AP＝PE；

解法二：如图2，连接AE，∵∠ABC＝∠APE＝90°，

∴A、B、E、P四点共圆，

∴∠EAP＝∠PBC＝45°，

∵AP⊥PE，

∴∠APE＝90°，

∴△APE是等腰直角三角形，

∴AP＝PE，

故①正确；

②如图3，连接CG，由①知：PG∥AB，PG＝AB，

∵AB＝CD，AB∥CD，

∴PG∥CD，PG＝CD，

∴四边形DCGP是平行四边形，

∴CG＝PD，CG∥PD，

∵PD⊥EF，

∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，

∵∠CEG＝45°，

∴；

故②正确；

③如图4，连接AC交BD于O，由②知：∠CGF＝∠GFD＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∴∠COF＝90°，

∴四边形OCGF是矩形，

∴CG＝OF＝PD，

∴，

故③正确；

④如图4中，在△AOP和△PFE中，

∵ ，

∴△AOP≌△PFE（AAS），

∴，

∴，

故④不正确；

本题结论正确的有：①②③，

故答案为：①②③．