Question

15．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，点D为AB边上一点，且AD：BD=1：3，连接CD，现将CD绕点C顺时针旋转90°度得到线段CE，连接EB，则线段EB的长是5．

Answer 1

分析 连结AE，如图，先判断△ACB为等腰直角三角形得到∠BAC=∠ABC=45°，AB=$\sqrt{2}$AC=4，则BD=3，再根据旋转的性质得CE=CD，∠DCE=90°，利用等角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，则根据旋转的定义可判断△CBD绕点C顺时针旋转90°度得到△CAE，接着根据旋转的性质得AE=BD=3，∠CAE=∠CBD=45°，所以∠BAE=90°，最后在Rt△BAE中利用勾股定理可计算出EB的长．

解答 解：连结AE，如图，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，AB=$\sqrt{2}$AC=4，
∵AD：BD=1：3，
∴BD=3，
∵CD绕点C顺时针旋转90°度得到线段CE，
∴CE=CD，∠DCE=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△CBD绕点C顺时针旋转90°度得到△CAE，
∴AE=BD=3，∠CAE=∠CBD=45°，
∴∠BAE=45°+45°=90°，
在Rt△BAE中，∵AE=3，AB=4，
∴BE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
故答案为5．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．