Question

观察下列各式：并解答后面的问题．

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

…
①由此可以推测

1

42

=

 

．
②用含n的式子（n是正整数）表示这一规律：

 

．
③用上述规律计算：

2

(x+1)(x+3)

+

2

(x+3)(x+5)

+

2

(x+5)(x+7)

+

2

(x+2013)(x+2015)

．

Answer 1

考点：分式的加减法

专题：规律型

分析：①观察一系列式子得出结果即可；
②归纳总结得到一般性规律，写出即可；
③原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果．

解答：解：①根据题意得：

1

42

=

1

6×7

=

1

6

-

1

7

；
②根据题意得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
③原式=

1

x+1

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+5

+…+

1

x+2013

-

1

x+2015

=

1

x+1

-

1

x+2015

=

2014

(x+1)(x+2015)

．
故答案为：①

1

6

-

1

7

；②

2014

(x+1)(x+2015)

．

点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．