Question

6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanB=$\frac{4}{3}$，AC=8，E是AB中点，过点A作直线CD的垂线，垂足为D．
（1）求线段CE的长．
（2）求cos∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）根据tanB=$\frac{AC}{BC}$求出BC，根据勾股定理求出AB，由EC=$\frac{1}{2}AB$得到结论．
（2）在RT△ADC中，根据∠ACD=∠BAC，sin∠ACD=$\frac{AD}{AC}$，求出AD即可．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AC=8，tanB=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{8}{BC}=\frac{4}{3}$，
∴BC=6，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵AE=EB=5，
∴EC=$\frac{1}{2}$AB=5，
（2）∵sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，EA=EC，
∴∠ACD=∠EAC，
∵AD⊥CD，
∴sin∠ACD=$\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{AD}{8}$，
∴AD=$\frac{24}{5}$，
∴cos∠BAD=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{\frac{24}{5}}{5}$=$\frac{24}{25}$．

点评 本题考查三角函数定义、直角三角形斜边中线定理、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．