Question

【题目】如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）C（4，0）

（1）求△ABC的面积；

（2）在y轴上是否存在一个点D，使得△ABD为等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）存在，点D坐标为（0，），（0，-1-），（0，1）.

【解析】

（1）根据AO=1，BC=6，求得△ABC的面积；

（2）分AB为底边和腰两种情况进行分类讨论，i)以AB为底边，设D（0，a），则AD=1+a，OD=a，根据BD=AD=1+a，∠BOD=90°，可得Rt△BOD中，OD2+OB2=BD2，即a2+22=（a+1）2，进而得出点D坐标；ii)以AB为腰，求出AB的长，在y轴即可确定点D的坐标.

（1）∵A（0，-1）、B（-2，0）、C（4，0），

∴AO=1，BC=6，

∴△ABC的面积=×6×1=3；

（2）存在一个点D，使得△ABD是等腰三角形．

i)如图所示，以AB为底边，

设D（0，a），则AD=1+a，OD=a，

∵BD=AD=1+a，∠BOD=90°，

∴Rt△BOD中，OD2+OB2=BD2，

∴a2+22=（a+1）2，

解得a=，

∴D（0，）;

ii) 如图所示，以AB为腰，

∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0）

∴BO=2，AO=1，

∵∠BOA=90゜

∴AB=,

若AB=AD，则有AD=

∴D点坐标为（0，-1-），

若AB=BD，则OD=OA=1，

∴D点坐标为（0，1）.

故存在一个点D，使得△ABD是等腰三角形．D点坐标为（0，），（0，-1-），（0，1）.