【题目】如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）线段BD、CE的数量关系是________；并说明理由；
（2）探究：当点D在BC边上移动时，α，β之间有怎样的数量关系?请说明理由；
（3)如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F.求证：EF＝DC.
【答案】（1）BD=CE，理由见解析；（2）α+β=180°，理由见解析；（3）见解析．
【解析】
（1）首先求出∠BAD=∠CAE，再利用SAS得出△ABD≌△ACE即可得BD=CE；
（2）利用△ABD≌△ACE，推出∠BAC+∠BCE=180°，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）利用△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE，由∠BAC＝90°，AB＝AC得∠B=∠ACE=∠ACB=45°，可证出△BCF是等腰直角三角形，则BC=FC，即可得出结论.
（1）BD=CE.
证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE；
（2）α+β=180°
理由：∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠BCE=180°，
即α+β=180°；
（3）∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，BD=CE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B=∠ACE=∠ACB=45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴BC=FC，
∴BC-BD=FC-CE，即EF＝DC.
故答案为：（1）BD=CE，理由见解析；（2）α+β=180°，理由见解析；（3）见解析．
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【题目】画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．
（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出AB边上的中线CD
（3）画出BC边上的高线AE
（4）点
为方格纸上的格点(异于点
)，若
，则图中的格点共有 个．
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【题目】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．
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【题目】如图，在等腰直角三角形ABC中，
D是AB的中点，E，F分别是AC，BC.上的点(点E不与端点A，C重合)，且
连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使
，连接DE，DF，GE，GF
(1)求证:四边形EDFG是正方形;
(2)直接写出当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小?最小值是多少?
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【题目】探索题：(x－1)(（x＋1)＝x2－1，
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1,
（x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1,
（x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x5－1.
（1）观察以上各式并猜想：
①(x－1)(x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)＝________________________；
②(x－1)(xn＋xn－1＋xn－2＋…＋x3＋x2＋x＋1)＝ ________________________；
（2)请利用上面的结论计算：
①(－2）50＋(－2)49＋(－2)48＋…＋(－2)＋1
②若x1007＋x1006＋…＋x3＋x2＋x＋1＝0，求x2016的值.
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【题目】如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，点A(1，8)，B(1，6)，C(7，6)．
(1)请直接写出D点的坐标．
(2)连接OB，OD，BD，请求出三角形OBD的面积．
(3)若长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度向下运动，当边BC与x轴重合时，停止运动，设运动的时间为t秒，t为多少时，三角形OBD的面积等于长方形ABCD的面积的
？
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【题目】如图，已知∠1＋∠2＝180o, ∠3＝∠B，试说明∠DEC＋∠C＝180o.请完成下列填空：
解：∵∠1＋∠2＝180o(已知)
又∵∠1＋∠4＝180o(平角定义)
∴∠2＝∠4(________)
∴______∥______(_________)
∴∠3 ＝ ∠ADE(__________)
又∵∠3＝∠B(已知)
∴∠ADE＝∠B(等量代换)
∴BC∥_____(_________)
∴∠DEC＋∠C＝180o(__________)
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【题目】淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆高度.
（1）如图1所示，淇淇将镜子放在地面上，然后后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，已知淇淇同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离淇淇头顶的距离是4cm，求旗杆DE 的高度.
如图2所示，嘉嘉在某一时刻测得 1 米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为
米，∠DCE=45°，求旗杆AB的高度？
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