Question

【题目】如图，，、、分别平分、和。以下结论:①;②;③;④. 其中正确的结论是

A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④

Answer 1

【答案】D

【解析】

由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，再由平行线的判定即可判断出①是否正确；

由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，进而可判断出②是否正确；

由∠BAC+∠ABC=∠ACF，得出∠BAC+∠ABC=∠ACF，再与∠BDC+∠DBC=∠ACF相结合，得出∠BAC=∠BDC，进而可判断出③是否正确.

在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，进而可判断出④是否正确；

①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，

∴∠EAD=∠DAC，

∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，

∴∠EAD=∠ABC，

∴AD∥BC，

故①正确.

②由（1）可知AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABC=2∠ADB，

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠ACB=2∠ADB，

故②正确.

③∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，

∴ ∠BAC+∠ABC=∠ACF，

∵∠BDC+∠DBC=∠ACF，

∴∠BAC+∠ABC=∠BDC+∠DBC，

∵∠DBC=∠ABC，

∴∠BAC=∠BDC，即∠BDC=∠BAC．

故③错误.

④在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，

∵CD平分△ABC的外角∠ACF，

∴∠ACD=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB

∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，

∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，

∴∠ADC+∠ABD=90°

∴∠ADC=90°-∠ABD，

故④正确；

故选D