【题目】如图,在等腰直角三角形ABC中,D是AB的中点,E,F分别是AC,BC.上的点(点E不与端点A,C重合),且连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使,连接DE,DF,GE,GF
(1)求证:四边形EDFG是正方形;
(2)直接写出当点E在什么位置时,四边形EDFG的面积最小?最小值是多少?
【答案】(1)详见解析;(2)当点E为线段AC的中点时,四边形EDFG的面积最小,该最小值为4
【解析】
(1)连接CD,根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD,结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF(SAS),根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF,通过角的计算可得出∠EDF=90°,再根据O为EF的中点、GO=OD,即可得出GD⊥EF,且GD=2OD=EF,由此即可证出四边形EDFG是正方形;
(2)过点D作DE′⊥AC于E′,根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度,从而得出2≤DE<2,再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值.
(1)证明:连接CD,如图1所示.
∵为等腰直角三角形,,
D是AB的中点,
∴
在和中,
∴ ,
∴,
∵,
∴,
∴为等腰直角三角形.
∵O为EF的中点,,
∴,且,
∴四边形EDFG是正方形;
(2)解:过点D作于E′,如图2所示.
∵为等腰直角三角形,,
∴,点E′为AC的中点,
∴ (点E与点E′重合时取等号).
∴
∴当点E为线段AC的中点时,四边形EDFG的面积最小,该最小值为4
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【题目】为了丰富同学们的课余生活,某学校举行“亲近大自然”户外活动,现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是?”的问卷调查,要求学生只能从“A(植物园),B(花卉园),C(湿地公园),D(森林公园)”四个景点中选择一项,根据调查结果,绘制了如下两幅不完整的统计图.
请解答下列问题:
(1)本次调查的样本容量是 ;
(2)补全条形统计图;
(3)若该学校共有3600名学生,试估计该校最想去湿地公园的学生人数.
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【题目】如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E,DF∥AB,交BC于点F,当△ABC满足_________条件时,四边形BEDF是正方形.
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【题目】从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线于对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.
(3)如图2,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.
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【题目】如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上一点(不与点B、C重合),以AD为边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE,设∠BAC=α,∠BCE=β.
(1)线段BD、CE的数量关系是________;并说明理由;
(2)探究:当点D在BC边上移动时,α,β之间有怎样的数量关系?请说明理由;
(3)如图2,若∠BAC=90°,CE与BA的延长线交于点F.求证:EF=DC.
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【题目】2019年4月23日是第24个世界读书日.为了弘扬中华传统文化,我县某学校举办了“让读书成为习惯,让书香飘满校园”主题活动,为此特为每个班级订购了一批新的图书.初一(1)班订购老舍文集4套和四大名著2套,总费用为480元;初一(2)班订购老舍文集2套和四大名著3套,总费用为520元.
(1)求老舍文集和四大名著每套各是多少元?
(2)学校准备再购买老舍文集和四大名著共20套,总费用不超过1720元,购买老舍文集的数量不超过四大名著的3倍,问学校有几种购买方案,请你设计出来.
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【题目】如图①,是用3根相同火柴棒拼成的一个三角图形,记为一个基本图形,将此基本图形不断的复制,使得相邻的两个基本图形的边重合,这样得到图②,图③…
(1)观察以上图形,图④中所用火柴棒的根数为_________,
猜想:在图n中,所用火柴棒的根数为_________(用n表示);
(2)如图,将图n放在直角坐标系中,设其中第一个基本图形的中心O1的坐标为(,),则=_________;的坐标为_________.
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