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【题目】如图,在等腰直角三角形ABC中,DAB的中点,EF分别是ACBC.上的点(E不与端点AC重合),且连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使,连接DEDFGEGF

(1)求证:四边形EDFG是正方形;

(2)直接写出当点E在什么位置时,四边形EDFG的面积最小?最小值是多少?

【答案】(1)详见解析;(2)当点E为线段AC的中点时,四边形EDFG的面积最小,该最小值为4

【解析】

1)连接CD,根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=DCF=45°AD=CD,结合AE=CF可证出ADE≌△CDFSAS),根据全等三角形的性质可得出DE=DFADE=CDF,通过角的计算可得出∠EDF=90°,再根据OEF的中点、GO=OD,即可得出GDEF,且GD=2OD=EF,由此即可证出四边形EDFG是正方形;

2)过点DDE′ACE′,根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度,从而得出2≤DE2,再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值.

(1)证明:连接CD,如图1所示.

为等腰直角三角形,

DAB的中点,

,

为等腰直角三角形.

OEF的中点,

,且

∴四边形EDFG是正方形;

(2):过点DE′,如图2所示.

为等腰直角三角形,

,点E′AC的中点,

(E与点E′重合时取等号).

∴当点E为线段AC的中点时,四边形EDFG的面积最小,该最小值为4

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