【题目】如图a,在正方形ABCD中,E、F分别为边AB、BC的中点,连接AF、DE交于点G.
(1)求证:AF⊥DE;
(2)如图b,连接BG,BD,BD交AF于点H.
①求证:GB2=GAGD;
②若AB=10,求三角形GBH的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②
【解析】
(1)利用正方形性质结合题意得出AE=BF,由此进一步证明△ADE与△BAF全等,从而得出∠BAF=∠ADE,再进一步通过等量代换求得∠ADE+∠DAF=90°,据此进一步分析即可证明结论;
(2)①首先证明△ABN△DAG得出AG=BN,DG=AN,然后再根据EG∥BN得出,所以AG=GN,最后利用勾股定理可知在Rt△BNG中BG2=BN2+GN2,由此通过等量代换进一步证明结论即可;②首先通过勾股定理求出DE,然后利用三角形等面积法求出AG,从而得知GN与BN,进一步利用△DGH~△BNH得出GH=2HN,然后结合题意计算出GH,最后进一步计算答案即可.
(1)∵正方形ABCD,E、F分别为边AB、BC的中点,
∴AD=BC=DC=AB,AE=BE=AB,BF=CF=BC,
∴AE=BF,
∵在△ADE和△BAF中,
∵
∴△ADE△BAF(SAS)
∴∠BAF=∠ADE,
∵∠BAF+∠DAF=90°,
∴∠ADE+∠DAF=90°,
∴∠AGD=90°,
∴AF⊥DE;
(2)①如图b,过点B作BN⊥AF于N,
由(1)可得:∠BAF=∠ADE,∠AGD=90°,AB=AD,
∴在△ABN与△DAG中,∠AGD=∠ANB=90°,∠BAF=∠ADE,AB=AD,
∴△ABN△DAG(AAS)
∴AG=BN,DG=AN,
∵∠AGE=∠ANB=90°,
∴EG∥BN,
∴,且AE=BE,
∴AG=GN,
∴AN=2AG=DG,
∵在Rt△BNG中,BG2=BN2+GN2,
∴BG2=AG2+AG2,
∴GB2=2AG2=2AGAG=GAGD,
即:GB2=GAGD;
②∵AB=10,
∴AE=BF=5,
∴DE===5,
∵×AD×AE=×DE×AG,
∴AG=2,
∴AG=GN=BN=2,
∴AN=DG=4,
∵GE∥BN,
∴△DGH~△BNH,
∴==2,
∴GH=2HN,
∵GH+HN=GN=2,
∴GH=,
∴△GBH的面积=×GH×BN=××2=.
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【题目】如图,AB是⊙O的弦,半径OE⊥AB,P为AB的延长线上一点,PC与⊙O相切于点C,CE与AB交于点F.
(1)求证:PC=PF;
(2)连接OB,BC,若OB∥PC,BC=3,tanP=,求FB的长.
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【题目】随着信息技术的快速发展,“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域,网上在线学习交流已不再是梦,现有某教学网站策划了A,B两种上网学习的月收费方式:
收费方式 | 月使用费/元 | 包时上网时间/h | 超时费/(元/min) |
A | 7 | 25 | 0.01 |
B | m | n | 0.01 |
设每月上网学习时间为x小时,方案A,B的收费金额分别为yA,yB.
(1)如图是yB与x之间函数关系的图象,请根据图象填空:m= ;n=
(2)写出yA与x之间的函数关系式.
(3)选择哪种方式上网学习合算,为什么?
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【题目】在“全民读书月”活动中,小明调查了班级里40名同学本学期购买课外书的费用情况,并将结果绘制成如图所示的统计表和扇形统计图,请根据相关信息,解答下列问题:(直接填写结果)
费用(元) | 20 | 30 | 50 | 80 | 100 |
人数 | 6 | a | 10 | b | 4 |
(1)本次调查获取的样本数据的众数是 元,中位数是 元;
(2)扇形统计图中,“50元”所对应的圆心角的度数为 度,该班学生购买课外书的平均费用为 元;
(3)若该校共有学生1000人,根据样本数据,估计本学期购买课外书花费50元的学生有 人.
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【题目】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和点A1.
(1)画出一个格点△A1B1C1,并使之是由△ABC平移后得到,且A与A1是对应点;
(2)画出点B关于直线AC的对称点D,并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得的;
(3)将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度,使得AB落在(2)中的线段AD的位置,请作出旋转后的三角形,并求在这一旋转过程中△ABC扫过的面积.
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【题目】九年级某班同学在“五四”游园活动中进行抽奖活动.在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球,把它们分别标号为A,B,C,随机摸出一个小球记下标号后放回摇匀,再从中随机摸出一个小球记下标号.
(1)请用列表或画树形图的方法(只选其中一种),表示两次摸出小球上的标号的所有结果;
(2)规定当两次摸出的小球标号相同时中奖,求中奖的概率.
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【题目】如图,已知一次函数 y=kx-2 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,与反比例函数的图象交于点 C,且 AB=AC,则 k 的值为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展,为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况,从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查,并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图.
每天课外阅读时间t/h | 频数 | 频率 |
0<t≤0.5 | 24 | |
0.5<t≤1 | 36 | 0.3 |
1<t≤1.5 | 0.4 | |
1.5<t≤2 | 12 | b |
合计 | a | 1 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表中a= ,b= ;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)若该校有学生1200人,试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数.
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【题目】如图1,将△ABC纸片沿中位线EH折叠,使点A对称点D落在BC边上,再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形,类似地,对多边形进行折叠,若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形,这样的矩形称为叠合矩形.
(1)将□ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG,则操作形成的折痕分别是线段_______,_________;S矩形AEFG:S□ABCD=__________.
(2)□ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH,若EF=5,EH=12,求AD的长;
(3)如图4,四边形ABCD纸片满足AD∥BC,AD<BC,AB⊥BC,AB=8,CD=10,小明把该纸片折叠,得到叠合正方形,请你帮助画出一种叠合正方形的示意图,并求出AD、BC的长.
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