【题目】如图,是边长为的正方形对角线上一动点(与、不重合),点在线段上,且.
求证:①;②;
设,的面积为.
①求出关于的函数关系式,并写出的取值范围;
②当取何值时,取得最大值,并求出这个最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2)①..②当时,.
【解析】
(1)可通过构建全等三角形来求解.过点P作GF∥AB,分别交AD、BC于G、F,那么可通过证三角形GPD和EFP全等来求PD=PE以及PE⊥PD.在直角三角形AGP中,由于∠CAD=45°,因此三角形AGP是等腰直角三角形,那么AG=PG,而PB=PE,PF⊥BE,那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG,同理可得出两三角形的另一组对应边DG,PF相等,因此可得出两直角三角形全等.可得出PD=PE,∠GDP=∠EPF,而∠GDP+∠GPD=90°,那么可得出∠GPD+∠EPF=90°,由此可得出PD⊥PE.
(2)求三角形PBE的面积,就要知道底边BE和高PF的长,(1)中已得出BF=FE=AG,那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG,GP即BF,FE的长,那么就知道了底边BE的长,而高PF=CD-GP,也就可求出PF的长,可根据三角形的面积公式得出x,y的函数关系式.然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最大值以及对应的x的取值.
证明:①过点作,分别交、于、.如图所示.
∵四边形是正方形,
∴四边形和四边形都是矩形,
和都是等腰直角三角形.
∴,,度.
又∵,
∴,
∴,
∴.
∴.
②∴.
∴度.
∴度.
∴.
解:①过作,可得为等腰直角三角形,
四边形为矩形,可得,
∵,∴,
∴,.
∴.
即..
②
∵,
∴当时,.
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【题目】如图,大楼(可以看作不透明的长方体)的四周都是空旷的水平地面.地面上有甲、乙两人,他们现在分别位于点和点处,、均在的中垂线上,且、到大楼的距离分别为米和米,又已知长米,长米,由于大楼遮挡着,所以乙不能看到甲.若乙沿着大楼的外面地带行走,直到看到甲(甲保持不动),则他行走的最短距离长为________米.
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【题目】如图,在正方形网格图中建立平面直角坐标系,一条圆弧经过网格点A(0,4)、B(-4,4)、C(-6,2),请在网格图中进行如下操作:
(1)利用网格图确定该圆弧所在圆的圆心D的位置(保留画图痕迹);
(2)连接AD、CD,则⊙D的半径为_ __(结果保留根号),∠ADC的度数为_ __;
(3)若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥底面半径.(结果保留根号).
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【题目】如图,抛物线的对称轴为直线,与轴的一个交点在和之间,其部分图象如图所示.则下列结论:①;②;③;④(为实数);⑤点,,是该抛物线上的点,则,正确的个数有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标是(1,n),与y轴的交点在(0,3)和(0,6)之间(包含端点),则下列结论错误的是( )
A.3a+b<0B.﹣2≤a≤﹣lC.abc>0D.9a+3b+2c>0
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【题目】如图,抛物线经过点A(4,0)、B(﹣2,0)、C(0,﹣4)
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线AC段上是否存在点M,使△ACM的面积为3,求出在此时M的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】小左同学想利用影长测量学校旗杆的高度,如图,她在某一时刻立一长度为1米的标杆,测得其影长为米,同时旗杆投影的一部分在地上,另一部分在某一建筑物的墙上,测得旗杆与建筑物的距离为10米,旗杆在墙上的影高为2米,请帮小左同学算出学校旗杆的高度.
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【题目】如图,己知,任取一点,连,,,并取它们的中点,,,得,则下列说法正确的个数是( )
①与是位似图形;②与是相似图形;
③与的周长比为;④与的面积比为.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】操作:小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒,现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计:
说明:方案一:图形中的圆过点A、B、C;
方案二:直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合,斜边经过两个正方形的顶点.
纸片利用率=×100%
发现:(1)方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点.
你认为小明的这个发现是否正确,请说明理由.
(2)小明通过计算,发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%.
请帮忙计算方案二的利用率,并写出求解过程.
探究:
(3)小明感觉上面两个方案的利用率均偏低,又进行了新的设计(方案三),请直接写出方案三的利用率.
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