【题目】问题探究
(1)如图①,在△ABC 中,∠B=30°,E 是 AB 边上的点,过点 E 作 EF⊥BC 于 F,则的值为 .
(2)如图②,在四边形 ABCD 中,AB=BC=6,∠ABC=60°,对角线 BD 平分∠ABC,点E 是对角线 BD 上一点,求 AE+ BE的最小值.
问题解决
(3)如图③,在平面直角坐标系中,直线 y -x 4 分别于 x 轴,y 轴交于点 A、B,点 P 为直线 AB 上的动点,以 OP 为边在其下方作等腰 Rt△OPQ 且∠POQ=90°.已知点C(0,-4),点 D(3,0)连接 CQ、DQ,那么DQ CQ是否存在最小值,若存在求出其最小值及此时点 P 的坐标,若不存在请说明理由.
【答案】(1) ;(2) ;(3)4.
【解析】
(1)利用直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半求解即可;
(2) 作EF⊥BC于F, 根据直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半,得到AE+BE=AE+EF ,再根据勾股定理得到AE+BE的最小值;
(3) 作PM⊥y轴于M,QN⊥y轴于N,易证△POM≌△OQN,根据当、Q、N共线时,Q+NQ最小求解即可.
解;(1) ∵EF⊥BC, ∴∠BFE=90°, ∵∠B=30°, ∴=;
(2)作EF⊥BC于F, ∵∠ABC=60°,对角线 BD 平分∠ABC,∴∠DBC=30°, ∴∠EF=BE, ∴AE+BE=AE+EF, ∴当点A、E、F三点在一条直线时,AE+BE 最小,∵∠ABF=60°, ∴∠BAF=30°, ∵AB=6, ∴BF=AB=3, ∴AF= , ∴AE+BE的最小值为.
(3) ∵y=-x+4, ∴B(0,4),A(4,0),
作PM⊥y轴于M,QN⊥y轴于N, ∴∠PMO=∠QNO=90°, ∵∠POM+MPO=∠POM+∠QON=90°∴∠MPO=∠QON, ∵PO=QO, ∴△POM≌△OQN,设BM=PM=ON=t,则OM=NQ=CN=4-t, ∴无论P在任何位置△CNQ都为等腰三角形,∠NCQ=45°,则Q点永远在直线AC上,作D点关于直线AC的对称点 , ∵D(3,0), ∴(4,-1),则DQ+NQ=Q+NQ, ∴当、Q、N共线时,Q+NQ最小,最小值是N=4.
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【题目】如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG.
(1)求证:AD=AG;
(2)AD与AG的位置关系如何,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为(0,4),线段的位置如图所示,其中点的坐标为(,),点的坐标为(3,).
(1)将线段平移得到线段,其中点的对应点为,点的对应点为点.
①点平移到点的过程可以是:先向 平移 个单位长度,再向 平移 个单位长度;
②点的坐标为 .
(2)在(1)的条件下,若点的坐标为(4,0),连接,画出图形并求的面积.
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【题目】如图,抛物线的对称轴为直线,与轴的一个交点坐标为,其部分图象如图所示,下列结论:
①;②方程的两个根是,③;④当时,的取值范围是;⑤当时,随增大而增大
其中结论正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
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【题目】如图①,若直线交轴于点、交轴于点,将绕点逆时针旋转得到.过点,,的抛物线.
求抛物线的表达式;
若与轴平行的直线以秒钟一个单位长的速度从轴向左平移,交线段于点、交抛物线于点,求线段的最大值;
如图②,点为抛物线的顶点,点是抛物线在第二象限的上一动点(不与点、重合),连接,以为边作图示一侧的正方形.随着点的运动,正方形的大小、位置也随之改变,当顶点或恰好落在轴上时,直接写出对应的点的坐标.
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【题目】在如图的直角坐标系中,画出函数的图象,并结合图象回答下列问题:
(1)y的值随x值的增大而______(填“增大”或“减小”);
(2)图象与x轴的交点坐标是_____;图象与y轴的交点坐标是______;
(3)当x 时,y <0 ;
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【题目】如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形中,点A,B,C在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′;
(2)计算△ABC的面积;
(3)在直线l上找一点P,使PB+PC的长最短.
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